Por la desarrollo polinómico de la serie de Taylor, sabemos que:
\( \text{sen}(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+... \)
También sabemos que los valores en los que la función se hace cero
\( 0,\pi ~,-\pi ~,2\pi ~,-2\pi ~, 3\pi ~,-3\pi ~,... \)
Por el teorema fundamental del álgebra podemos factorizar:
\( \text{sen}(x)=x(x-\pi)(x+\pi)(x-2\pi)(x+2\pi)... \)
Dividimos por \( x \) miembro a miembro:
\( \frac{1}{x}\text{sen}(x)=\frac{1}{x} x(x-\pi)(x+\pi)(x-2\pi)(x+2\pi)...= \frac{1}{x} \left( x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+... \right) \)
\( \frac{\text{sen}(x)}{x}=(x-\pi)(x+\pi)(x-2\pi)(x+2\pi)...= 1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+... \)
Podemos factorizar con la siguiente fórmula
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=112218.msg443622#msg443622\( \frac{\text{sen}(x)}{x}=\left(1-\frac{x}{\pi}\right)\left(1-\frac{x}{-\pi}\right)\left(1-\frac{x}{2\pi}\right)\left(1-\frac{x}{-2\pi}\right)... \)
\( \frac{\text{sen}(x)}{x}=\left(1-\frac{x}{\pi}\right)\left(1+\frac{x}{\pi}\right)\left(1-\frac{x}{2\pi}\right)\left(1+\frac{x}{2\pi}\right)... \)
\( \frac{\text{sen}(x)}{x}=\left(1-\frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{2^2\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{3^2\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{4^2\pi^2}\right)... \)
