[Rashed]

Hola buenas tardes a todos, me pusieron en uno de los ejercicios que decía lo siguiente:

1) Deducir la expresión para la solución general de la ecuación

\( y'+a(x)y=b(x) \)

2) Resolver \( xy'+y=\cos(x) \) , y(PI)=1

Y el otro ejercicio:

3) Calcular \( \displaystyle\iint x^2y.dx.dy  \)

D=\( \{(x,y) \in{\mathbb{R}^2} : y\geq 0 , x^2+y^2\leq 1\} \)

Utilizando si es conveniente coordenadas polares.
Eso seria, espero que se pueda entender. Todavia no me puedo adaptar al lenguaje de latex, sepan disculpar. Saludos

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[delmar]

Hola

Es conveniente poner solamente un problema por hilo, de lo contrario pueden surgir confusiones y también mostrar lo que se ha hecho por resolver el problema.

1) Hay varias formas, una de ellas :

Suponiendo a(x), b(x) continuas, y(x) es continua y derivable con continuidad. Supongamos que \( y(x)=u(x)  \ v(x) \) tal que u(x), v(x) son derivables con continuidad. En esas circunstancias se tiene:

\( y'+a(x)y=b(x)\Rightarrow{(uv)'+a(x)  \ uv=b(x)}\Rightarrow{u'v+uv'+a(x) \ uv=b(x)} \)

Agrupando términos se tiene :

\( (u'v+a(x)uv)+uv'=b(x)\Rightarrow{v(u'+a(x)u)+uv'=b(x)} \) Ec. 1

En este punto hay una interrogante \( ¿\exists{u} \ / \ u'+a(x)u=0 \ \ Ec. \ 2? \) En caso existiera y se pudiera hallar; la Ec. 1 se satisface si \( uv'=b(x) \) Ec. 3 conocida u, v se obtiene por simple integración y con ello se obtiene y=uv

La respuesta a la interrogante es afirmativa, es la solución de la Ec. 2, la cual es una ecuación homogénea, detallando :

\( u'+a(x)u=0\Rightarrow{u'=-a(x)u}\Rightarrow{\displaystyle\frac{u'}{u}=-a(x)} \)

Suponiendo que \( u(x)\neq{0} \) integrando se obtiene : \( u(x)=e^{-\displaystyle\int_{}^{}a(x)dx} \), observa que esta respuesta verifica que \( u(x)\neq{0} \)

Luego se resuelva la Ec. 3, es decir se halla v y finalmente la solución es y=uv

2) Considera u como  función de x de la siguiente forma \( u=xy \) de ahí puedes hacer simplificaciones

Vuelvo a recomendarte trata de resolver primero el 1 luego 2 y finalmente el 3, para claridad del hilo.

Saludos

[Rashed]

Hola he tenido varios problemas y no pude contestar a tiempo siento muchisimo la demora. Me encuentro resolviendo los ejercicios como digiste y luego de la teoria leida, nos enseñaron 3 tipos de metodos para esa clase de ejercicios (1). Ni bien pueda armar la demostracion la edito y si serian tan amables vemos que tipo de errores cometi.

[Rashed]

Bueno luego de haber podido interpretar mejor el tema, entiendo que en primer instancia el ejercicio 1 corresponde a una ecuacion diferencial lineal de primer orden por lo tanto la deduccion a su caso general viene dada de la siguiente manera:

\( y´+a(x)y=b(x) \) Multiplicamos por \( e^A(x) \) Donde A(x)= \( \displaystyle\int_{}^{}a(x).dx \);

Desde aca empiezo a operar y va quedando:
\( y´e^A(x)+a(x)e^A(x)y=e^A(x)b(x) \);
\( {ye^A(x)}´=e^A(x)b(x) \);
\( ye^A(x)=\displaystyle\int_{}^{}e^A(x)b(x).dx+C \);
\( y=e^-A(x)\displaystyle\int_{}^{}e^A(x)b(x).dx+C.e^-A(x) \);
\( y=e^-A(x).\displaystyle\int_{}^{}e^A(x).b(x).dx+ce^-A(x) \)

Mi pregunta es la siguiente, esta es una de las demostraciones que presente en su momento cuando estabamos cursando la materia, y es de la forma en la que nuestro profesor nos la ha enseñado y lo que pretendia cuando pregunto la consigna. Mi nueva pregunta es: En las lineas resaltadas con rojo ¿Que operacion se uso para a la derivada de y respecto de x "sacarla" fuera ? como se puede observar primero se encuentra la derivada de y multiplicando a e,y luego se encuentra entre llaves (corchetes) pero con su simbolo (´) de derivada englobando todo.

[delmar]

Observa que \( (y \ e^{A(x)})' \) es la derivada de un producto de dos funciones.
El teorema para dos funciones genéricas es \( (f \ g)'=f' \ g+f \ g' \); en este caso \( f(x)=y, \ g(x)=e^{A(x)} \) entonces aplicando el teorema se llega a : \( (y \ e^{A(x)})'=y' \ e^{A(x)}+y \ e^{A(x)} \ A'(x)=y' \ e^{A(x)}+y \ e^{A(x)} \ a(x) \), el paso final es utilizando la definición de A(x)

Saludos

[Rashed]

Ahh, si entiendo si se escribe de esa forma y luego resolves la derivada volves a la linea anterior aplicando la derivada de un producto. Muchisimas gracias!!.

Lo que si no logre comprender es si fue un error de escritura o quisiste poner \( y/e^Ax \). Es decir una division?. Digo xq despues en los procedimiento e va a cancelarse y sera division en el otro lado por eso queda en negativo.
Pero si en tu caso ya esta dividiendo cambia toda la ecuacion.

[delmar]

Fue un error de escritura.

Saludos