Autor Tema: Demostrar que un subconjunto NO es compacto

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30 Enero, 2020, 01:20 pm
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Buenas, llevo un rato mirando este ejercicio sin saber por donde meterle mano

Sea \( \mathcal T \) la topología en \( \mathbb{ R}  \) definida como \(  U\in\mathcal T  \) si para todo \(  x \in U  \) existe \(  \epsilon>0  \) tal que \(  [x,\epsilon) \subset U  \). Probar que el subconjunto \(  [0,1]  \) de \(  (\mathbb{ R },\mathcal T)  \) no es compacto.

Intuyo que la idea tiene que ir por la forma de los abiertos de \( \tau \), es decir, que los abiertos son de la forma (...) o [...) pero a partir de ahí no se seguir.
Otra de mis dudas es si no sería [0,2) un recubrimiento finito de [0,1], quizás no tenga aún claro el concepto de compacto.

Gracias de antemano.

30 Enero, 2020, 01:32 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola


Bienvenida al foro.

Buenas, llevo un rato mirando este ejercicio sin saber por donde meterle mano

Sea \(  \tau  \) la topología en \( \mathbb{ R}  \) definida como \(  U\in\tau  \) si para todo \(  x \in U  \) existe \(  \epsilon>0  \) tal que \(  [x,\epsilon) \subset U  \). Probar que el subconjunto \(  [0,1]  \) de \(  (\mathbb{ R },\tau)  \) no es compacto.

Intuyo que la idea tiene que ir por la forma de los abiertos de \( \tau \), es decir, que los abiertos son de la forma (...) o [...) pero a partir de ahí no se seguir.
Otra de mis dudas es si no sería [0,2) un recubrimiento finito de [0,1], quizás no tenga aún claro el concepto de compacto.

Gracias de antemano.

Para ver que no es compacto tienes que encontrar un recubrimiento de \( [0,1] \) por abiertos del cuál sea imposible sacar un subrecubrimiento finito.

Prueba con:

\( [1,2),[0,1/2),[1/2,1-1/3),[1-1/3,1-1/4),\ldots,[1-1/n,1-1/(n+1)),\ldots \)

Saludos.