[albertlorenzo]

El enunciado del ejercicio reza así:

En \( \mathbb{\mathbb{R}^3} \) se consideran los subespacios U y S dados por:

\( U = \{(x, y, z) \in{\mathbb{R}^3}/x + 2y + z = 0 \} \)

\( S = <(1, 3, 0),(−3, −1, 0)> \)

1. Hallar una base y las ecuaciones implícitas del subespacio U ∪ S
2. Hallar una base y las ecuaciones implícitas del subespacio \( U \cap S \).


Para resolver el apartado 1, primero debería saber si la unión es un subespacio verdad? ¿Puedo hacerlo sustituyendo los vectores de S en la implícita de U? Si es así la unión no sería un subespacio?

Y otra duda... Si me piden sacar las ecuaciones implícitas de S+U, el cual es un subespacio de dim 3 en \( \mathbb{R}^3 \), no habría ecuación implícita porque ese subespacio genera cualquier vector?

Muchas gracias!

PD: Perdón por el mal uso de latex, soy novato...
Editá tu mensaje (click en Modificar) para ver cómo fue corregido

[Masacroso]

El enunciado del ejercicio reza así:

En \( \mathbb{R^3} \) se consideran los subespacios U y S dados por:

\( U = \begin{cases}{(x, y, z)} \in{R^3}/x + 2y + z = 0\end{cases} \)

\( S = {(1, 3, 0),(−3, −1, 0)} \)

1. Hallar una base y las ecuaciones implícitas del subespacio U ∪ S
2. Hallar una base y las ecuaciones implícitas del subespacio U ∩ S.


Para resolver el apartado 1, primero debería saber si la unión es un subespacio verdad? ¿Puedo hacerlo sustituyendo los vectores de S en la implícita de U? Si es así la unión no sería un subespacio?

Y otra duda... Si me piden sacar las ecuaciones implícitas de S+U, el cual es un subespacio de dim3 en R3, no habría ecuación implícita porque ese subespacio genera cualquier vector?

Muchas gracias!

PD: Perdón por el mal uso de latex, soy novato...

La unión de dos subespacios es un subespacio si uno de los dos subespacios está contenido en el otro. Entiendo que \( S \) es el espacio generado por los dos vectores dados, entonces para saber si \( S\subset U \) te basta con ver si los vectores generadores de \( S \) cumplen la definición dada para los vectores de \( U \).

Si no es así, como la dimensión de \( S \) y \( U \) es la misma, entonces \( S\cup U \) no es un subespacio vectorial. Yo creo que habrán querido decir \( S+U \) en vez de \( S\cup U \).

Para tu segunda pregunta: si \( S+U \) tiene dimensión tres entonces es igual a \( \Bbb R ^3 \). Pero no sé lo que es la ecuación implícita de un subespacio vectorial, así que con eso no puedo ayudarte.

[albertlorenzo]

La unión de dos subespacios es un subespacio si uno de los dos subespacios está contenido en el otro. Entiendo que \( S \) es el espacio generado por los dos vectores dados, entonces para saber si \( S\subset U \) te basta con ver si los vectores generadores de \( S \) cumplen la definición dada para los vectores de \( U \).

Si no es así, como la dimensión de \( S \) y \( U \) es la misma, entonces \( S\cup U \) no es un subespacio vectorial. Yo creo que habrán querido decir \( S+U \) en vez de \( S\cup U \).

Para tu segunda pregunta: si \( S+U \) tiene dimensión tres entonces es igual a \( \Bbb R ^3 \). Pero no sé lo que es la ecuación implícita de un subespacio vectorial, así que con eso no puedo ayudarte.

Muchas gracias por responder tan rápido! Tengo un pequeño lío con unión y suma de dos subespacios. Ah y con ecuación implícita, me refiero a la ecuación cartesiana o definición de un subespacio.

Según lo entiendo la suma e intersección no son lo mismo y para saber si hay un subespacio unión, como tú bien dices, bastaría con sustituir los vectores de S en la definición de U para saber que no están dentro y según leo si los dos subespacios tienen la misma dimensión no pueden generar ese nuevo subespacio, cierto?

Por otra parte. Cuando tengo una base de dimensión 3 en R3, significa que ese subespacio genera cualquier vector y por lo tanto no habría una ecuación que defina qué vectores están en éste o no, es así?

[Masacroso]

Según lo entiendo la suma e intersección no son lo mismo y para saber si hay un subespacio unión, como tú bien dices, bastaría con sustituir los vectores de S en la definición de U para saber que no están dentro y según leo si los dos subespacios tienen la misma dimensión no pueden generar ese nuevo subespacio, cierto?

Más o menos. En más detalle: como dije antes \( S \cup U \) es un subespacio si y solo si \( S\subset U \) ó \( U\subset S \). En este caso podemos ver fácilmente que \( 1+2\cdot 3+0\neq 0 \), por tanto \( S\not\subset U \). Faltaría ver si \( U\subset S \) pero como \( \dim S=\dim U=2 \) (ya que la ecuación que define a \( U \) tiene dos grados de libertad, y los dos vectores generadores de \( S \) son linealmente independientes) si fuese cierto que \( U \subset S \) entonces necesariamente \( S=U \) porque tienen la misma dimensión, pero ya vimos antes que \( S\neq U \), y por tanto \( U\not \subset S \). Así que \( U\cup S \) no es un subespacio vectorial.

*Nota: en general se entiende el símbolo \( \subset  \) como "contenido o igual", es decir, que es lo mismo que escribir \( \subseteq  \).

Por otra parte. Cuando tengo una base de dimensión 3 en R3, significa que ese subespacio genera cualquier vector y por lo tanto no habría una ecuación que defina qué vectores están en éste o no, es así?

Si la base tiene \( n \) vectores entonces el espacio es de dimensión \( n \), y el único subespacio de dimensión \( n \) en un espacio de \( n \) dimensiones es el propio espacio al completo (aquí \( n \) es cualquier número natural). Con lo de "la" ecuación no lo tengo claro, es decir, un subespacio vectorial se puede definir a través de un sistema lineal de ecuaciones, pero en general no se puede hacer con una única ecuación lineal.

[Luis Fuentes]

Hola

Muchas gracias por responder tan rápido! Tengo un pequeño lío con unión y suma de dos subespacios.

La unión es el concepto conjuntista. Los vectores de la unión de dos subespacios son los que están en alguno de ellos. La unión de dos rectas son los vectores que están en una recta y también los que están en la otra.

La suma es un concepto propio de espacios vectoriales. Son todos los vectores que puedes conseguir sumando vectores de dada uno de los dos subespacios. La unión de dos rectas son los vectores que se obtienen sumando un vector de cada recta: todos los que están en el plano que los contiene.

Otra caracterización de la suma es el menor subespacio vectorial que contiene a los dos subespacios que sumamos.

Ah y con ecuación implícita, me refiero a la ecuación cartesiana o definición de un subespacio.

Ecuación implícita y cartesiana es lo mismo. Son ecuaciones que dan la condición que tiene que cumplir un vector para pertenecer al subespacio y por tanto de alguna forma describen ese subespacio.

Por otra parte. Cuando tengo una base de dimensión 3 en R3, significa que ese subespacio genera cualquier vector y por lo tanto no habría una ecuación que defina qué vectores están en éste o no, es así?

Si. Un subespacio de dimensión \( 3 \) en \( \Bbb R^3 \) es TODO el espacio vectorial \( \Bbb R^3 \). Por tanto no tiene ecuaciones implícitas ya que un vector no tiene que cumplir ninguna condición para pertenecer al subespacio: todos pertenecen.

Saludos.