Autor Tema: Algoritmo de Bruno Buchberger

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26 Enero, 2020, 04:45 am
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Julio_fmat

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Escribir el Algoritmo de "Bruno Buchberger" para encontrar una base de Grobner de un ideal \( I \) de \( \mathbb{C}\left[x_1,...,x_n\right] \) y aplicarlo al ideal \( I=\left<{x_1x_2-2x_2,2x_2^2-x_1^{2}}\right>\subset \mathbb{C}[x_1,x_2] \).

Hola, en Magma se como calcular la base de Groebner del ideal, se hace de esta manera:

>C<x_1,x_2,x_n>:=PolynomialRing(Integers(),3);
>I:=Ideal([x_1*x_2-2*x_2,2*x_2^2-x_1^2]);
>GroebnerBasis(I);

Lo que me da lo siguiente:
[
    x_1^2 - 2*x_2^2,
    x_1*x_2 - 2*x_2,
    2*x_2^3 - 4*x_2
]

Lo que no se hacer es cómo poder calcular dicha base usando el Algoritmo de Bruno?? que es lo que me piden  ???
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

28 Enero, 2020, 04:53 am
Respuesta #1

Julio_fmat

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Mi pregunta es cuántos pasos se deben efectuar para que el algoritmo pare y vuelva a ejecutarse. Me explico, el ejemplo que di con el anillo de polinomios de los enteros esta mal, porque es \( \mathbb{C}\left[x_1,...,x_n\right] \). Se tiene...

INPUT Un conjunto de polinomios \( F \) que genera a \( I \)
OUTPUT Una base de Groebner \( G \) para \( I \)

1) \( G:=F \)

2) Para cada \( f_i,f_j \) en \( G \), denotamos por \( g_i \) el término lider de \( f_i \) con respecto al ordenamiento dado, y \( a_{ij} \) es el mínimo comun multiplo de \( g_i \) y \( g_j. \)

3) Elija dos polinomios en \( G \) y sea \( S_{ij}=\left(\dfrac{a_{ij}}{g_i}\right)f_i-\left(\dfrac{a_{ij}}{g_j}\right)f_j. \)

4) Reduzca \( S_{ij} \) con el algoritmo de la division multivariable relativo al conjunto \( G \), hasta que el resultado no sea mas reducible. Si el resultado no es cero, agreguelo a \( G. \)

5) Repita los pasos 1)-4) hasta que se consideren todos los pares posibles, incluidos los que involucran los nuevos polinomios agregados en el paso 4).

6) Output \( G \)


Hola, empece a desarrollar y me queda que \( f_1=x_1x_2-2x_2 \), \( f_2=2x^{2}-x_1^2 \). Ademas, los monomios lider son \( g_1=x_1x_2 \), \( g_2=x_1^2 \) y \( a_{12}=x_1^2x_2 \). Luego tenemos que

\( S_{12}=\left(\dfrac{-x_1^2x_2}{x_1x_2}\right)(x_1x_2-2x_2)-\left(\dfrac{-x_1^2 x_2}{-x_1^2}\right)(2x_2^2-x_1^2) \)

\( S_{12}=-x_1(x_1x_2-2x_2)-x_2(2x_2^2-x_1^2)=2x_1x_2-2x_2^3\ne 0 \)

Luego, agregamos \( G_{12} \) al conjunto G, segun el algoritmo, tenemos que \( G=\{f_1,f_2,S_{12}\} \)

Y luego???
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

28 Enero, 2020, 08:16 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Y luego???

Vuelve a repetir el paso 2 con el nuevo polinomio que has añadido.

Saludos.

28 Enero, 2020, 07:29 pm
Respuesta #3

Julio_fmat

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Hola

Y luego???

Vuelve a repetir el paso 2 con el nuevo polinomio que has añadido.

Saludos.

Hola el_manco, lo hice, pero me da otro polinomio y no cero como espero llegar. En efecto...

Sean \( f_1=x_1x_2-2x_2 \) y \( S_{12}=-4x_2^2+x_1^3 \).

Se tiene que los terminos lider son \( g_1=x_1x_2 \) y \( g_2=x_1^3 \). Tenemos que el minimo comun multiplo es \( a_{12}=x_2x_1^3 \). Por tanto,

\( \widetilde{S}_{12}=\left(\dfrac{x_2x_1^3}{x_1x_2}\right)(x_1x_2-2x_2)-\left(\dfrac{x_2x_1^3}{x_1^3}\right)(-4x_2^2+x_1^3)=-2x_2x_1^2+4x_2^2. \)

Pero no me da cero como esperaba... ¿Cual es el error? Gracias.
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