Mi pregunta es cuántos pasos se deben efectuar para que el algoritmo pare y vuelva a ejecutarse. Me explico, el ejemplo que di con el anillo de polinomios de los enteros esta mal, porque es \( \mathbb{C}\left[x_1,...,x_n\right] \). Se tiene...
INPUT Un conjunto de polinomios \( F \) que genera a \( I \)
OUTPUT Una base de Groebner \( G \) para \( I \)
1) \( G:=F \)
2) Para cada \( f_i,f_j \) en \( G \), denotamos por \( g_i \) el término lider de \( f_i \) con respecto al ordenamiento dado, y \( a_{ij} \) es el mínimo comun multiplo de \( g_i \) y \( g_j. \)
3) Elija dos polinomios en \( G \) y sea \( S_{ij}=\left(\dfrac{a_{ij}}{g_i}\right)f_i-\left(\dfrac{a_{ij}}{g_j}\right)f_j. \)
4) Reduzca \( S_{ij} \) con el algoritmo de la division multivariable relativo al conjunto \( G \), hasta que el resultado no sea mas reducible. Si el resultado no es cero, agreguelo a \( G. \)
5) Repita los pasos 1)-4) hasta que se consideren todos los pares posibles, incluidos los que involucran los nuevos polinomios agregados en el paso 4).
6) Output \( G \)
Hola, empece a desarrollar y me queda que \( f_1=x_1x_2-2x_2 \), \( f_2=2x^{2}-x_1^2 \). Ademas, los monomios lider son \( g_1=x_1x_2 \), \( g_2=x_1^2 \) y \( a_{12}=x_1^2x_2 \). Luego tenemos que
\( S_{12}=\left(\dfrac{-x_1^2x_2}{x_1x_2}\right)(x_1x_2-2x_2)-\left(\dfrac{-x_1^2 x_2}{-x_1^2}\right)(2x_2^2-x_1^2) \)
\( S_{12}=-x_1(x_1x_2-2x_2)-x_2(2x_2^2-x_1^2)=2x_1x_2-2x_2^3\ne 0 \)
Luego, agregamos \( G_{12} \) al conjunto G, segun el algoritmo, tenemos que \( G=\{f_1,f_2,S_{12}\} \)
Y luego???
