Autor Tema: Problema de polinomios y primos en Magma

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24 Enero, 2020, 08:34 pm
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Julio_fmat

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Sea \( A:=\{p(x)=p_0+p_1x+p_2x^2+p_3x^3\in \mathbb{Z}\left[x\right]: 0\le p_i\le 2 \text{ para cada } i=0,1,2,3\} \). Ocupar Magma para hallar el subconjunto \( B\subset A \) de todos los polinomios \( p(x)\in A \) de grado \( 3 \) que pensados como polinomios en \( \mathbb{Z}_3\left[x\right] \) sean irreducibles en \( \mathbb{Z}_3\left[x\right] \). Además, para cada \( p(x)\in B \), encontrar todos los primos \( p \) tales que \( 2\le p<200 \) y \( p(x) \) pensado como polinomio en \( \mathbb{Z}_p\left[x\right] \) sea irreducible en \( \mathbb{Z}_p\left[x\right] \).


Hola, me es un problema dificil... :banghead: En cuanto a polinomios irreducibles, son aquellos que al evaluarlos en el punto no son cero.
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

25 Enero, 2020, 08:39 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Sea \( A:=\{p(x)=p_0+p_1x+p_2x^2+p_3x^3\in \mathbb{Z}\left[x\right]: 0\le p_i\le 2 \text{ para cada } i=0,1,2,3\} \). Ocupar Magma para hallar el subconjunto \( B\subset A \) de todos los polinomios \( p(x)\in A \) de grado \( 3 \) que pensados como polinomios en \( \mathbb{Z}_3\left[x\right] \) sean irreducibles en \( \mathbb{Z}_3\left[x\right] \). Además, para cada \( p(x)\in B \), encontrar todos los primos \( p \) tales que \( 2\le p<200 \) y \( p(x) \) pensado como polinomio en \( \mathbb{Z}_p\left[x\right] \) sea irreducible en \( \mathbb{Z}_p\left[x\right] \).


Hola, me es un problema dificil... :banghead: En cuanto a polinomios irreducibles, son aquellos que al evaluarlos en el punto no son cero.

No se nada de Magma. Pero desde el punto de vista concpetual la cosa es sencilla.

Un polinomio de grado 3 es irreducible si no tiene raíces.

Entonces evalúa todos los posibles polinomios en las tres posibles raíces de \( \Bbb Z_3 \), \( \{0,1,2\} \) y quédate con los que no sea anulan en ninguna.

Luego para esos polinomios con los que te has quedado analiza si para cada primo \( p \), se anulan en algún punto \(  \{0,1,\ldots,p-1\} \) en \( \Bbb Z_p \). Si no se anulan igualmente son irreducibles en \( \Bbb Z_p[ x] \).

Saludos.