Autor Tema: Conexión

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24 Enero, 2020, 01:31 pm
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Bobby Fischer

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Hola,

Estudiar si \( (A,\mathcal{T}) \) es conexo en los siguientes casos:

iv) \( A=B((0,1);1)\cup B((0,-1);1) \) en \( (\mathbb{R}^2,d_e) \).

Independientemente de cómo sean los abiertos de la topología relativa a \( A \), existen dos abiertos propios de dicha topología, \( B((0,1);1) \) y \( B((0,-1);1) \), que son disjuntos y cuya unión es \( A \). Entonces \( A \) no es conexo.

v) \( A=B[(0,1);1]\cup B[(0,-1);1] \) en \( (\mathbb{R}^2,d_e) \).

No existen dos abiertos disjuntos de la topología relativa a \( A \) que den lugar a una partición de \( A \). Es conexo.

vi) \( A=B((0,1);1)\cup B[(0,-1);1] \) en \( (\mathbb{R}^2,d_e) \).

No existen dos abiertos disjuntos de la topología relativa a \( A \) que den lugar a una partición de \( A \). Es conexo.

Si lo que está en verde es cierto, ¿cómo se demuestra?

24 Enero, 2020, 04:13 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

v) \( A=B[(0,1);1]\cup B[(0,-1);1] \) en \( (\mathbb{R}^2,d_e) \).

No existen dos abiertos disjuntos de la topología relativa a \( A \) que den lugar a una partición de \( A \). Es conexo.

vi) \( A=B((0,1);1)\cup B[(0,-1);1] \) en \( (\mathbb{R}^2,d_e) \).

No existen dos abiertos disjuntos de la topología relativa a \( A \) que den lugar a una partición de \( A \). Es conexo.

Si lo que está en verde es cierto, ¿cómo se demuestra?

Normalmente para probar la conexión de conjuntos con la topología usual, uno primero prueba la conexión de los intervalos (eso suele explicarse como primer ejemplo de conexión) y a partir de ahí aplica diversos resultados que permiten construir otros conexos:

1) La unión de conexos con un punto en común es conexa.
2) La imagen continua de un conexo es conexa. Como consecuencia de esto la conexión por caminos implica la conexión.
3) Un conjunto contenido entre un conexo y su clausura es conexo.

En tu caso en el apartado (v) claramente las bolas son conexas por caminos ya que es inmediato definir un camino entre el centro de la misma y cualquier punto de ellas. Como las dos bolas tienen un punto en común es conexo.

En el segundo caso el conjunto formado por la bola abierta y el segmento que une los centros de las bolas es conexo por ser unión de conexos (la bola y el segmento) con puntos en comunes. Ahora la unión de ese conjunto y la bola cerrada es igualmente conexa por ser unión de conexos con puntos en común.

Saludos.

24 Enero, 2020, 04:31 pm
Respuesta #2

Bobby Fischer

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Muchas gracias,

Saludos.