[srdeincognito]

Buenos días a todos, ¿me pueden ayudar?

Imaginen que nos dan una aplicación lineal  f:ℛ³-->ℛ²  \( f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 \)  definida por ejemplo como \(  f(x,y,z)=(x+y,x-z) \) respecto de unas bases B3 y B2 diferentes de la base canónica:

1.- ¿Cuántas y qué formas distintas existen para hallar la matriz asociada a la aplicación f respecto de las bases B3 y B2?

2.- ¿Si multiplicamos dicha matriz asociada por un elemento u de \( \mathbb{R}^3 \) nos dará un elemento v de  \( \mathbb{R}^2 \) pero, es este último el mismo que si hacemos f(u) usando cómo está definida f o solo será el mismo si la matriz está asociada a f respecto de la base canónica?

Son dudas elementales sobre aplicaciones y agradecería que alguien me las aclarase. Muchas gracias.

[feriva]

Buenos días a todos, ¿me pueden ayudar?

Imaginen que nos dan una aplicación lineal f:ℛ³-->ℛ² definida por ejemplo como f(x,y,z)=(x+y,x-z) respecto de unas bases B3 y B2 diferentes a la base canónica:

1.- ¿Cuántas y qué formas distintas existen para hallar la matriz asociada a la aplicación f respecto de las bases B3 y B2?

Pues hay varias; usando la matriz inversa para hallar la matriz de cambio, haciendo vector a vector las transformaciones... no sé decirte cuántas.

2.- ¿Si multiplicamos dicha matriz asociada por un elemento u de ℛ³ nos dará un elemento v de ℛ² pero, es este último el mismo que si hacemos f(u) usando cómo está definida f o solo será el mismo si la matriz está asociada a f respecto de la base canónica?

Ahí no sé si entiendo. Si tienes un vector \( v_1 \) de tres coordenadas nunca puede ser igual a un vector \( v_2 \) de dos coordenadas, eso es obvio, pero sí pueden existir distintas bases respecto de cada uno tales que los Bv resultantes sean iguales.

Saludos.

[Masacroso]

Buenos días a todos, ¿me pueden ayudar?

Imaginen que nos dan una aplicación lineal f:ℛ³-->ℛ² definida por ejemplo como f(x,y,z)=(x+y,x-z) respecto de unas bases B3 y B2 diferentes a la base canónica:

1.- ¿Cuántas y qué formas distintas existen para hallar la matriz asociada a la aplicación f respecto de las bases B3 y B2?

2.- ¿Si multiplicamos dicha matriz asociada por un elemento u de ℛ³ nos dará un elemento v de ℛ² pero, es este último el mismo que si hacemos f(u) usando cómo está definida f o solo será el mismo si la matriz está asociada a f respecto de la base canónica?

Son dudas elementales sobre aplicaciones y agradecería que alguien me las aclarase. Muchas gracias.

1. Posiblemente haya infinitas formas diferentes de hacerlo. Una función lineal viene determinada por los valores que toma en cualquier base, es decir, que si \( T:\Bbb R ^3\to \Bbb R ^2 \) es lineal y \( B:=\{e_1,e_2,e_3\} \) es cualquier base de \( \Bbb R ^3 \) entonces \( T \) viene determinada por los vectores \( Te_1,\, Te_2 \) y \( Te_3 \), los cuales pertenecen a \( \Bbb R ^2 \).

La representación en coordenadas de los vectores de una base se suele hacer utilizando la base canónica, es decir que podemos tener que

\( \displaystyle{
e_1:=(1,2,0),\quad  e_2:=(0,-1,\sqrt{2})\quad \text{ y }\quad e_3:=(0,0,\pi)\tag1
} \)

Entonces en \( \mathrm{(1)}  \), salvo que nos digan otra cosa, tenemos que entender que \( e_1=\vec\imath+2\vec \jmath \), \( e_2=-\vec\jmath+\sqrt{2}\vec k \) y \( e_3=\pi\vec k \), donde \( \{\vec\imath,\, \vec\jmath,\vec k\} \) es la base canónica de \( \Bbb R ^3 \). Si las coordenadas de un vector, por ejemplo \( a \), vienen dadas en otra base, por ejemplo \( B=\{e_1,e_2,e_3\} \), generalmente se usa la notación \( (a_1,a_2,a_3)_B \), eso quiere decir que

\( \displaystyle{
a=a_1e_1+a_2 e_2+a_3 e_3\tag2
} \)

Entonces una forma de hallar la matriz de \( T \) en unas bases dadas cualesquiera \( B_1 \) y \( B_2 \), llamémosla \( \mathcal{M}(T)_{B_1 B_2} \) es, primero, hallar la matriz de \( T \) en las bases canónicas correspondientes, y luego multiplicar por las matrices de cambio de base, es decir que si \( M \) es la matriz de \( T \) en las bases canónicas y \( C_1 \) es la matriz de cambio de base de la base canónica en \( \Bbb R ^3 \) a la base \( B_1 \) y \( C_2 \) es la matriz de cambio de base de la base canónica en \( \Bbb R ^2 \) a la base \( B_2 \) entonces \( \mathcal{M}(T)_{B_1B_2}=C_2^{-1}MC_1 \).

2. No entiendo muy bien la pregunta, espero que esto te ayude: una transformación lineal no depende de ninguna base vectorial, siempre es la misma. Pero para calcular usamos unas bases determinadas y los resultados, y vectores del dominio, vendrán representados en esas bases. Es decir: la base es lo que hace que las coordenadas de los vectores sean unas u otras.

[srdeincognito]

Con respecto a la pregunta 2.
Imaginen que nos dan una aplicación \( T: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3 \) tal que \(  T(x,y)=(2x-y, x+2y, 3x) \).
Si hallamos la matriz asociada a T respecto de las bases \( B= \{(1,-1),(1,1)\} \) y \( C=\{(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)\} \),       \( M(T,B,C)=\begin{bmatrix}{3}&{1}\\{-4}&{2}\\{3}&{3}\end{bmatrix} \) 

Por tanto, imaginen que hallamos la imagen de un vector cualquiera (x,y), por ejemplo, el (1,2); entonces T(1,2)=(0,5,3). Pero, (usando MX=Y)
\begin{bmatrix}{3}&{1}\\{-4}&{2}\\{3}&{3}\end{bmatrix} · (1,2) en columnas = (5, -2, 9) ≠(0,5,3). ¿Por qué?

[Masacroso]

Con respecto a la pregunta 2.
Imaginen que nos dan una aplicación T: ℛ2--->ℛ3 tal que T(x,y)=(2x-y, x+2y, 3x). Si hallamos la matriz asociada a T respecto de las bases B= {(1,-1),(1,1)} y C={(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)}, M(T,B,C)=\begin{bmatrix}{3}&{1}\\{-4}&{2}\\{3}&{3}\end{bmatrix}

Por tanto, imaginen que hallamos la imagen de un vector cualquiera (x,y), por ejemplo, el (1,2); entonces T(1,2)=(0,5,3). Pero, (usando MX=Y)
\begin{bmatrix}{3}&{1}\\{-4}&{2}\\{3}&{3}\end{bmatrix} · (1,2) en columnas = (5, -2, 9) ≠(0,5,3). ¿Por qué?

Si escribes \( T(1,2)=(0,5,3) \) y no especificas nada más se entiende que tanto \( (1,2) \) como \( (0,5,3) \) son las coordenadas de los vectores expresadas en las respectivas bases canónicas de cada espacio. Luego tienes que

\( \displaystyle{
M(T,B,C)(1,2)^{T}=\begin{pmatrix}{3}&{1}\\{-4}&{2}\\{3}&{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1\\ 2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5\\0\\9
\end{pmatrix}
} \)

Como \( M(T,B,C) \) toma vectores representados en base \( B \) y da vectores representados en base \( C \) entonces se cumpliría que \( (5,0,9)_C=(0,5,3) \) siempre y cuando \( (1,2)_B=(1,2) \) (que no es nuestro caso ya que la base B no es la canónica).

En resumen: cada vez que escribes un vector dando sus coordenadas estás utilizando una base vectorial, y debes de tener claro qué base estás usando.

Corregido y cambiada la redacción.

[Ricardo Boza]

Hola,

Con respecto a la pregunta 2.
Imaginen que nos dan una aplicación T: ℛ2--->ℛ3 tal que T(x,y)=(2x-y, x+2y, 3x). Si hallamos la matriz asociada a T respecto de las bases B= {(1,-1),(1,1)} y C={(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)}, M(T,B,C)=\begin{bmatrix}{3}&{1}\\{-4}&{2}\\{3}&{3}\end{bmatrix}

Por tanto, imaginen que hallamos la imagen de un vector cualquiera (x,y), por ejemplo, el (1,2); entonces T(1,2)=(0,5,3). Pero, (usando MX=Y)
\begin{bmatrix}{3}&{1}\\{-4}&{2}\\{3}&{3}\end{bmatrix} · (1,2) en columnas = (5, -2, 9) ≠(0,5,3). ¿Por qué?

La aplicación es la misma pero está escrita respecto a bases diferentes.

Para \( f \) respecto de las bases B y C, tienes: \( f(x,y)=\begin{bmatrix}{3}&{1}\\{-4}&{2}\\{3}&{3}\end{bmatrix}\left[\begin{array}{ccc}{x}\\{y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{3x+y}\\{-4x+2y}\\{3x+3y}\end{array}\right] \), que es distinta de \( f \) respecto de las bases canónicas: \( f(x,y)=\begin{bmatrix}{2}&{-1}\\{1}&{2}\\{3}&{0}\end{bmatrix}\left[\begin{array}{ccc}{x}\\{y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{2x-y}\\{x+2y}\\{3x}\end{array}\right] \)

Saludos.

[feriva]

... (5, -2, 9) ≠(0,5,3). ¿Por qué?

Porque las coordenadas de un vector dependen de la base en que los consideremos.

Con un ejemplo más simple, si (1,2) está en la canónica, “C”, y quieres expresarlo, por ejemplo, en la base \( B=\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
-1 & 1
\end{array}\right)
  \), ¿qué haces?

Pues consideras \( v_{c}
  \) y \( v_{B}
  \), que son el mismo vector tales que \( M_{B}v_{B}=M_{C}v_{C}
  \); y aquí son iguales, pero, evidentemente, si las bases son distintas, las coordenadas serán distintas, porque, si no, no podrían ser iguales los dos lados.

En este caso, al tener en un lado la canónica se puede escribir directamente

\( M_{B}v_{B}=v_{C}
  \)

y ahora puedes multiplicar a ambos lados por la inversa de MB (como en el álgebra corriente, pero estando pendientes del lado por el que multiplicamos, porque no se da la conmutativa en general)

\( M_{B}^{-1}M_{B}v_{B}=M_{B}^{-1}v_{C}
  \)

\( Iv_{B}=M_{B}^{-1}v_{C}
  \)

\( v_{B}=M_{B}^{-1}v_{C}
  \)

y al hacer las cuentas, si no me he equivocado, tenemos

\( v_{B}=(-\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2})
  \)

que no tiene las mismas coordenadas que \( v_{C}=(1,2)
  \), pero que es el mismo vector en otra base.

Imagina dos vectores en una coordenada, (2) y (3) (aunque no sea corriente considerar esto).

¿Son iguales? Depende a qué “base” estén referidos; mira

\( (6)(2)=(4)(3)
  \).

Entendidos en la “canónica”, en cambio, \( (1)(2)\neq(1)(3)
  \).

Ésa es más o menos la idea.

Saludos.