Autor Tema: Una pelota de golf

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17 Enero, 2020, 08:42 pm
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Marcos Castillo

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Hola, tengo un ejercicio de física, y hay una fórmula que no sé cómo se obtiene. Lo escribo
"Una persona golpea una pelota con un palo de golf. Estimar (a) el impulso \( \vec{I} \), (b) el tiempo de colisión \( \Delta{t} \) y (c) la fuerza media \( \vec{F}_m \). Considerar que la masa de la pelota de golf típica es \( m=25\;cm \) y su radio \( r=2\;cm \). En un recorrido típico, el alcance \( R \) es de unos 190 m (figura 8.12). La pelota sale formando un ángulo \( \theta_0=13 grados \) con la horizontal
PLANTEAMIENTO Sea \( v_0 \) el módulo de la velocidad de la pelota cuando se separa del palo. El impulso es igual a la variación de su momento lineal, o sea, \( mv_0 \) durante la colisión. Estimaremos la velocidad inicial \( v_0 \) a partir del alcance. Estimaremos el tiempo de colisión a partir de la distancia recorrida durante el choque \( \Delta{x} \) y la velocidad media \( \dfrac{1}{2}(v_{ix}+v_{fx}) \) durante la colisión, suponiendo constante la aceleración. Consideramos \( \Delta{x}=2\;cm \), que es el radio de la bola. La fuerza media se obtiene entonces a partir del impulso \( \vec{I} \) y el tiempo de colisión \( \Delta{t} \)
SOLUCIÖN
(a)1. Igualar el impulso con la variación del momento de la bola: \( I_x=F_{mx}\Delta{t}=\Delta{p}_x \)
2.Hacer un dibujo donde se muestre la bola antes y después del impacto con el palo (figura 8.13)
3. La velocidad \( v_f \) inmediatamente después de la colisión está relacionada con el alcance \( R \) mediante \( R=(v^2_0/g)\sen{2\theta_0} \) (ecuación \( v_{mx}=\dfrac{1}{\Delta{t}}\displaystyle\int_{t_2}^{t_1}v_xdt \)) donde \( v_0 \) es la velocidad después de la colisión \( v_f \): \( R=\dfrac{v^2_f}{g}\sen{2\theta_0} \)
4-Considerar que \( \theta_0=13 grados \) y calcular la velocidad inicial: \( v_0=\sqrt{\dfrac{(190\;m)(9,81\;m/s^2)}{\sen{26}\;grados}}=65,2\;m/s \)"
La duda es: ¿cómo se llega a \( R=\dfrac{v^2_f}{g}\sen{2\theta_0} \) a partir de \( v_{mx}=\dfrac{1}{\Delta{t}}\displaystyle\int_{t_2}^{t_1}v_xdt \)?.
PS. Voy a hacerlo en dos tiempos. Voy a intentar adjuntar imágenes con el móvil. Soy un cazo.
Un saludo
No man is an island (John Donne)

18 Enero, 2020, 08:08 am
Respuesta #1

Marcos Castillo

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\( v_{0x}\Delta{t}+\dfrac{1}{2}a_x(\Delta{t})^2=\dfrac{1}{\Delta{t}}\displaystyle\int_{t_2}^{t_1}v_xdt \)

El tiiempo total de vuelo de un proyectil se puede expresar en función de su velocidad inicial y del ángulo de lanzamiento con respecto al eje horizontal. El alcance se obtiete multiplicando la componente \( x \) de la velocidad por el tiempo total que el proyectil está en el aire. El tiempo total de vuelo \( T \) se obtiene haciendo \( y=0 \) y \( t=T \) en \( y=v_0t-gt^2 \)
\( 0=v_{0y}T-\dfrac{1}{2}gt^2 \), \( T>0 \)
Dividiendo por \( T \), nos da
\( v{0y}-\dfrac{1}{2}gT=0 \)
El tiempo de vuelo del proyectil es entonces
\( T=\dfrac{2v_{0y}}{g}=\dfrac{2v_0}{g}\sen{\theta_0} \)
Para calcular el alcance horizontal \( R \), sustituimos \( T \) en lugar de \( t \) en \( x(t)=v_{0x}t \) para obtener
\( R=v_{0x}T=(v_0\cos{\theta_0})\left(\dfrac{2v_0}{g}\sen{\theta_0}\right)=\dfrac{2v^2_0}{g}\sen{\theta_0}\cos{\theta_0} \)
Como \( \sen{2\theta}=2\sen{\theta}\cos{\theta} \)
Entonces
\( R=\dfrac{v^2_0}{g}\sen{2\theta_0} \)
¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

18 Enero, 2020, 11:26 am
Respuesta #2

Richard R Richard

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  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...
Creo vas bien a simple vista.
Para calcular el impulso
\( I=m\Delta v=mv_0 \)
Pero solo si tienes \( \Delta t \) puedes calcular \( F_m \) y viceversa, te falta al menos un dato o el problema es incoherente , o bien supone uno de los datos y calcula el otro con una simple división.
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

18 Enero, 2020, 11:42 am
Respuesta #3

Marcos Castillo

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Hola Richard R Richard.
No he escrito todo el ejercicio resuelto. La forma que dices de hallar el impulso y la fuerza es el que dice el libro. El ejercicio lo entiendo. Lo que no entendía era qué se hacía para demostrar el paso que preguntaba.Por ser un poco irreflexivo.
Un saludo
No man is an island (John Donne)

18 Enero, 2020, 05:18 pm
Respuesta #4

Richard R Richard

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  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...
ahora tengo mas tiempo a dedicarle

El alcance de un tiro parabolico

\( x=v_0\cos \alpha t \,\rightarrow{}\,t=\dfrac{x}{v_0\cos \alpha} \)

cuando lanzas una bola al aire hacia arriba y no hay rozamiento, vuelve a caer con la mismo modulo de velocidad

\( -v_0\sin\alpha=v_0\sin\alpha-gt \,\rightarrow{}\, g\dfrac{x}{v_0\cos \alpha}=2v_0\sin\alpha \,\rightarrow{}\,v_0^2=\dfrac{gx}{\sin2\alpha} \)

\( I=m\Delta v=mv_0=\dfrac{mgx}{\sin2\alpha} \)


Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

19 Enero, 2020, 06:35 am
Respuesta #5

Marcos Castillo

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¡Brillante, Richard R Richard!
Un saludo
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19 Enero, 2020, 08:37 am
Respuesta #6

sugata

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La pregunta importante es si fue birdie, par o boogie......