[nati]

Hola a todos!
Tengo el siguiente ejercicio para resolver:
Se consideran dos segmentos \( AC \) y \( BD \) tales que \( M \) sea su punto de intersección.
a) ¿Qué condición debe cumplirse para que \( ABCD \) sea paralelogramo?
b) ¿Qué condición debe cumplirse para que \( ABCD \) sea rombo? Demuestre
c) ¿Qué condición debe cumplirse para que \( ABCD \) sea rectángulo? Demuestre
d) ¿Qué condición debe cumplirse para que \( ABCD \) sea un cuadrado? Demuestre
e) ¿Qué condición debe cumplirse para que \( ABCD \) sea trapecio isósceles? Demuestre

Bueno para el a) \( M \) tendría que ser punto medio del segmento \( DB \) y \( M \) también tendría que ser punto medio de \( CD \), para el b) tendria que cumplirse que sus diagonales son perpendiculares en su punto medio, es decir \( BD\perp{AC} \) y \( M \) punto medio de \( [BD] \) y \( [AC] \), luego para el c) se tendría que cumplir que \( [AC]=[BD] \) y que \( M \) sea punto medio de \( [BD] \) y \( [CA] \), el d) tendría que cumplir que \( [AC]=[BD] \), \( AC\perp{BD} \) y \( M \) punto medio de ambos segmentos. Y la parte e) no sé, no me informe aun sobre qué es un trapecio isosceles. Supongo que estas serian las respuestas a las condiciones, pero las demostraciones, ¿cómo las hago?   .

Gracias por su ayuda!

Saludos

[EnRlquE]

Hola.

 Las condiciones que anotas son correctas, aunque en la parte d) es suficiente con que exijas que \( AC=BD \) y \( AM=BM \) (sin necesidad de que \( M \) sea punto medio de ambos segmentos, ni que ambos segmentos sean perpendiculares, observa que con lo que exiges resulta que \( ABCD \) es un cuadrado).

 Para las demostraciones tienes que verificar que con las condiciones impuestas se obtiene necesariamente un cuadrilátero como es pedido, por ejemplo

 a) Si \( M \) es punto medio de \( \overline{AB} \) y \( \overline{BC} \), entonces como \( m\angle AMB=m\angle CMD \) los triángulos \( AMB \) y \( CMD \) son congruentes, luego \( m\angle ACD=m\angle CAB\Longrightarrow\overline{AB}\parallel\overline{CD} \), similarmente se deduce que \( \overline{BC}\parallel\overline{AD} \).

 c) Observa que se cumple todo lo anterior y además \( m\angle ABC=m\angle ABD+m\angle DBC=90^{\circ} \) (intenta deducir esto sumando los ángulos internos del triángulo \( ABC \)), similarmente \( m\angle BCD=90^{\circ} \), \( m\angle ADC=90^{\circ} \) y \( m\angle BAD=90^{\circ} \).

 Intenta las otras y si tienes dificultades, pregunta.

Saludos.

P.D: Recuerda hacer un dibujo en cada caso.

[nati]

No entendí lo que me dijiste del b).
Pero lo puedo demostrar con lo siguiente?:
Por Hipótesis:
El segmento \( AM=MC \)y \( DM=MB \).
\( BD\perp{AC} \)
Entonces, los triángulos \( AMB=BMC=DMC=DMA \)(serian cuatro triángulos rectángulos), luego los lados del cuadrilátero son iguales, entonces por definición ABCD es un rombo.

Bueno la duda es como hago para demostrar el c) y el e)  

Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

 El b) está bien como dices.

 c) Ten en cuenta que los triángulos \( AMB \) y \( DMC \) son isósceles e iguales entre si; y lo mismo el \( BMC \) y \( AMD \).

 Luego en el triángulo ABC tienes:

\(  \angle A +\angle B+\angle C=180^o \)

 Descomponiéndolo en dos de esos triángulos isósceles deduce que \( B=A+C \) y por tanto \( A+C=90^o \).

 e) Un trapecio isósceles es aquel cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y dos no paralelos iguales entre si. Cumple \( AM=BM \) y \( AD=BC \).

Saludos.

[EnRlquE]

Hola.

 Huyy... perdón por el deslíz  , las indicaciones que hice NO eran para la pregunta b), sino para la "c)".

Saludos.