Autor Tema: Sucesión en un espacio pseudométrico

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

14 Enero, 2020, 09:06 am
Leído 307 veces

Bobby Fischer

  • Aprendiz
  • Mensajes: 465
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
    • chess.com
Hola,

Se considera el subconjunto del plano \( X=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:x,y\geq 0\} \) junto con la aplicación \( d:X\times X\to \mathbb{R} \) dada por \( d((x,y),(x',y'))=|xy-x'y'| \)
Estudiar la convergencia de la sucesión \( y_n=(\frac{1}{n},0) \), \( n\geq 1 \), en \( (X,d) \).


He pensado suponer que si la sucesión es convergente y lo hace a \( (x^*,y^*) \), entonces \( \displaystyle\lim_{n} |x^*y^*-0|=0 \), por lo que \( x^*y^*=0 \)
Pero no veo claro el razonamiento a seguir.

Saludos.

14 Enero, 2020, 07:23 pm
Respuesta #1

Masacroso

  • Héroe
  • Mensajes: 2,150
  • País: es
  • Karma: +4/-0
Hola,

Se considera el subconjunto del plano \( X=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:x,y\geq 0\} \) junto con la aplicación \( d:X\times X\to \mathbb{R} \) dada por \( d((x,y),(x',y'))=|xy-x'y'| \)
Estudiar la convergencia de la sucesión \( y_n=(\frac{1}{n},0) \), \( n\geq 1 \), en \( (X,d) \).


He pensado suponer que si la sucesión es convergente y lo hace a \( (x^*,y^*) \), entonces \( \displaystyle\lim_{n} |x^*y^*-0|=0 \), por lo que \( x^*y^*=0 \)
Pero no veo claro el razonamiento a seguir.

Saludos.

Me parece que está correcto tu planteamiento. En un espacio con pseudométrica una sucesión puede converger a muchos puntos diferentes, ya que los puntos en tales espacios ya no son, en general, distinguibles.

Entonces tienes que la sucesión \( (y_n) \) converge a cada punto de la forma \( (x,0) \) ó \( (0,y) \) para cualesquiera \( x,y\in \Bbb R  \).

14 Enero, 2020, 08:43 pm
Respuesta #2

Bobby Fischer

  • Aprendiz
  • Mensajes: 465
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
    • chess.com
Gracias Masacroso,

Saludos.