[Marcos Castillo]

¡Hola!
La ecuación \( \displaystyle\int_{1}^{2}\vec{F}_{neta}\cdot{d\vec{l}}=k_2-k_1 \) se obtiene directamente de la segunda ley de Newton del movimiento. Pero, ¿cómo?
¡Un saludo!

[delmar]

Hola

El integral que se ha puesto, es un integral de línea, en donde la fuerza \( \vec{F} \) es un campo vectorial definido y acotado en la gráfica (imagen) de un camino regular \( \vec{l} \), este es el vector posición de una partícula respecto al tiempo t, eso es lo usual y se interpreta :

\( \displaystyle\int_{1}^{2}\vec{F}d\vec{l}=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}\cdot{\vec{l}'} \ dt \)

Aplicando la segunda ley de Newton se tiene :


\( \displaystyle\int_{1}^{2}\vec{F}d\vec{l}=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}\cdot{\vec{l}'} \ dt=m\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\vec{l}''  \cdot{\vec{l}'} \ dt \)

Considerando que \( \vec{l}=x(t)\vec{i}+y(t)\vec{j}+z(t)\vec{k} \)

Se puede la derivada primera y segunda de \( \vec{l}(t) \)y hacer el producto interno, e integrar por sustitución y se llega al resultado esperado.

Saludos

[Marcos Castillo]

\( \dfrac{dW_{neta}}{dt}=\vec{F}\cdot{\vec{v}}=m\vec{a}\cdot{\vec{v}}=m\vec{v}\dfrac{d\vec{v}}{dt}=\dfrac{1}{2}m\dfrac{d\vec{v^2}}{dt}=\dfrac{dE_c}{dt} \).
¿Correcto?.
Un saludo

[Abdulai]

\( \dfrac{dW_{neta}}{dt}=\vec{F}\cdot{\vec{v}}=m\vec{a}\cdot{\vec{v}}=m\vec{v}\dfrac{d\vec{v}}{dt}=\dfrac{1}{2}m\dfrac{d\vec{v^2}}{dt}=\dfrac{dE_c}{dt} \).
¿Correcto?.

Si.  Nada mas un detalle en la notación:

Es \( \vec{v}\cdot \dfrac{d\vec{v}}{dt} \) , un producto escalar.

Y  el término \( \dfrac{d\vec{v^2}}{dt} \)  es un escalar, debe escribirse  \( \dfrac{d(\vec v\cdot\vec v)}{dt} \)  o \( \dfrac{d\;v^2}{dt} \)   entendiendo por \( v \) el módulo de la velocidad.

[Marcos Castillo]

¡Muchas gracias Abdulai!
Un saludo. He estado rumiando tu mensaje.
¡Gracias!

[delmar]

Otra forma, considerando que el trabajo de un campo de fuerzas a lo largo de una línea, es un integral de línea, como expuse en mi aporte anterior.

\( \displaystyle\int_{1}^{2}\vec{F}\cdot{d\vec{l}}=m \ \displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\vec{l}'' \ \cdot{\vec{l}'} \ dt \) Ec. A

\( \vec{l}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k} \)

\( \vec{l}'=x'\vec{i}+y'\vec{j}+z'\vec{k} \)

\( \vec{l}''=x''\vec{i}+y''\vec{j}+z''\vec{k} \)

Sustituyendo en la Ec. A queda :

\( \displaystyle\int_{1}^{2}\vec{F}\cdot{d\vec{l}}=m\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}(x''\vec{i}+y''\vec{j}+z''\vec{k})\cdot{(x'\vec{i}+y'\vec{j}+z'\vec{k})} dt=m \displaystyle\int_{t_1}^{t_2}(x' \ x''+y' \ y''+ z' \ z'')dt \) Ec. B
Pero, haciendo el cambio de variable \( u=x' \) :

\( \displaystyle\int_{t_1}^{t_2}x' \ x'' dt=\displaystyle\int_{x'(t_2)}^{x'(t_1)}u \ du=\displaystyle\frac{u^2}{2}│_{x'(t_1)}^{x'(t_2)}=\displaystyle\frac{x'(t_2)^2}{2}-\displaystyle\frac{x'(t_1)^2}{2}=\displaystyle\frac{vx_2^2}{2}-\displaystyle\frac{vx_1^2}{2} \)

Lo mismo ocurre con \( y',z' \) y en consecuencia la Ec. B queda :

\( \displaystyle\int_{1}^{2}\vec{F}\cdot{d\vec{l}}=m(\displaystyle\frac{vx_2^2}{2}-\displaystyle\frac{vx_1^2}{2})+m(\displaystyle\frac{vy_2^2}{2}-\displaystyle\frac{vy_1^2}{2})+m(\displaystyle\frac{vz_2^2}{2}-\displaystyle\frac{vz_1^2}{2})=m(\displaystyle\frac{vx_2^2+vy_2^2+vz_2^2}{2})-m(\displaystyle\frac{vx_1^2+vy_1^2+vz_1^2}{2})=K_2-K_1 \)

Saludos

[Marcos Castillo]

¡Brillante!
Un saludo

[Marcos Castillo]

¡Brillante!
Un saludo