Autor Tema: Propiedades topológicas que se mantienen por aplicaciones (ii)

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05 Enero, 2020, 08:58 pm
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Bobby Fischer

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Hola,

6) b) Probar que si \( (X,\mathcal{T}) \) es 2ºN y \( f:(X,\mathcal{T})\to (Y,\mathcal{T}') \) es continua, abierta y sobreyectiva, entonces \( (Y,\mathcal{T}') \) es 2ºN.

Si X es 2ºN, entonces admite una base numerable. Sea \( \mathcal{B} \) dicha base. Por ser sobreyectiva y abierta, \( f(\mathcal{B}) \) es un recubrimiento de Y por abiertos. ¿Es \( f(\mathcal{B}) \) base de \( \mathcal{T}' \)? Si lo fuera, todo solucionado, porque \( card(f(\mathcal{B}))\leq card(\mathcal{B}) \), que es numerable.

Saludos.

05 Enero, 2020, 09:25 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Sí lo es. Para verlo debes usar que \( f \) es continua. En efecto, dado \( U \) abierto de \( Y \) y \( p \in U  \) hay que ver que hay un \( f(B) \) tal que \( p \in f(B) \subseteq U \). Para esto, como \( f \) es continua, \( f^{-1}(U) \) es abierto. Toma un \( z \in f^{-1}(U) \) tal que \( f(z)=p \) (existe por sobreyectividad), y toma un elemento de la base \( B \) con \( z \in B \subseteq f^{-1}(U) \). Entonces \( p=f(z) \in f(B) \subseteq U \), como queríamos.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

05 Enero, 2020, 10:05 pm
Respuesta #2

Bobby Fischer

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