Autor Tema: ¿Cuál es el punto de la Topología general?

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03 Enero, 2020, 04:15 pm
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javier m

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Hola, supongo que esta pregunta aplica para muchas ramas básicas de las matemática, pero dado que estoy más cercano a la topología, hago la pregunta en esta área.

Entiendo que la topología general sirva de fundamento para los otros tipos de topología (algebraica, diferencial,...) y para el análisis, pero una vez se han construido esos fundamentos ¿cuál es fin de seguir estudiando topología? A veces me da la impresión de que se introducen nuevas y rebuscadas  definiciones que hacen que todo parezca un poco rebuscado y la rama queda aislada de las otras ramas. Por ejemplo, estudiar espacios con propiedades extrañas que nunca llegarían siquiera a rozar una rama como la topología diferencial o incluso la algebraica. Tal vez alguien podría argumentar que ese tipo de cosas merecen ser estudiadas incluso si no aportan a otra rama (yo mismo lo pienso normalmente), pero a veces me cuesta ver cuál es el punto de estudiar algo que no va a tener repercusión en nada más allá de un pequeño circulo de gente interesada.

Saludos

04 Enero, 2020, 11:14 am
Respuesta #1

geómetracat

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Voy a dejar unos cuantos pensamientos sobre la cuestión.

Primero, creo que lo que describes probablemente se podría aplicar a todas las ramas de las matemáticas. Si te pasas por el arxiv, verás que la mayoría de papers "no van a tener repercusión más allá de un pequeño círculo de gente interesada".

Dicho esto, creo que el estudio de propiedades "extrañas" y contraejemplos en topología (al igual que en las demás ramas de las matemáticas) forma parte de un proceso muy natural. Primero introduces una serie de definiciones "naturales" y "sencillas", y vas demostrando teoremas. Entonces llega un punto en que te planteas si la propiedad A implica la propiedad B o no (por ejemplo, porque te das cuenta de que todos los ejemplos que se te ocurren a bote pronto con la propoedad A también tienen la propiedad B). Esta pregunta acaba o bien en un teorema o bien en un contraejemplo, que puede ser bastante raro. En este segundo caso, lo normal es pensar en qué propiedad parecida a A debes pedirle al espacio para asegurar que tenga la propiedad B. Esta propiedad probablemente ya no será tan natural como A, pero sigue siendo interesante. Ahora itera este proceso unas cuantas veces y tendrás una colección de espacios rarísimos y de propiedades a priori extrañas.

Hay otro factor que ayuda a explicar algunos desarrollos que pueden parecer extraños: en topología general, al margen de interesar a analistas y topólogos algebraicos/geómetras, también se han metido (y se nota la influencia) gente de teoría de conjuntos, que tiene sus propios intereses pero son menos conocidos. Quizás algunos temas se vean más naturales desde esta perspectiva, que tiene un aire mucho más combinatorio que otras. Además, muchas implicaciones abiertas entre propiedades básicas de topología se acabó viendo que son independientes de ZFC vía forcing, y para muchas otras cuestiones se requiere la hipótesis del continuo, cardinales grandes u otros temas conjuntistas.

Por otro lado está el tema, implícito en tu mensaje y diría que muy extendido, de considerar la topología general como un apoyo para el análisis y la topología algebraica/diferencial, etc. Es un punto de vista, pero la topología general también tiene interés de por sí: puedes pensar que es el estudio general de la noción de continuidad. Yo creo que no es necesaria más justificación para estudiarla que su belleza intrínseca, aunque mucha gente opina distinto. Pero en topología algebraica también hay temas muy esotéricos que interesan a cuatro gatos y no está tan cuestionada. Aún así, la topología general que se da en la carrera (que es lo único que la mayoría de los matemáticos conoce) sigue tu filosofia: es más o menos lo esencial para usar después en cursos de análisis/geometría/topología algebraica.

Finalmente, diría que de todas formas hoy en día la investigación en topología general está prácticamente muerta. Hasta donde yo sé hay gente o grupos sueltos trabajando en alguna cuestión de topología general esparcidos por el mundo, pero no hay una comunidad fuerte como en otros campos, y probablemente en unos cuantos años ya no quedará prácticamente nadie.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

04 Enero, 2020, 07:55 pm
Respuesta #2

javier m

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Gracias geómetracat, valoro mucho tu mensaje y aprecio que te hayas tomado el tiempo para escribirlo porque me aclara (y confirma) varias cosas. Por cierto, me dejaste un poco en shot con tu predicción en el último párrafo. 
Un saludo.