[Asdfgh]

Buenas tardes, estoy teniendo problemas para realizar este ejercicio a la hora de estudiar para un examen.

Sean \( \textbf{X}=\left[\begin{array}{cc}{X_1}\\{X_2}\end{array}\right]\sim{N_p(\mu, \Sigma)} \) con \( \Sigma=\begin{bmatrix}{\Sigma_{11}}&{\Sigma_{12}}\\{\Sigma_{21}}&{\Sigma_{22}}\end{bmatrix} \). Demostrar que \( \Sigma_{12}=0 \) si y solo sí \( X_1 \) es independiente de \( X_2 \) y que dadas unas matrices P y Q, entonces P\( \textbf{X} \) y Q\( \textbf{X} \) son independientes sí y solo sí \( P\Sigma Q=0 \)

Este ejercicio fue de un examen del año pasado y no tengo la solución y en Navidad es dificil que el profesor responda, así que cualquier ayuda se agradece.

Un saludo.

[geómetracat]

\( \Sigma_{12}=0 \) es equivalente a \( Cov(X_1,X_2)=0 \). Y si la distribución de \( (X_1,X_2) \) es normal multivariante, es equivalente tener covarianza \( 0 \) y ser independientes. (En general, ser independientes implica tener covarianza cero, pero no al revés; aquí hay que usar que tienen una distribución normal.)

Dadas \( P,Q \), la distribución de \( (PX, QX) \) es de nuevo una normal multivariante que se obtiene como te explicó Luis Fuentes aquí:
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=111883.msg442266#msg442266.
Ahora debes comprobar que para esta nueva distribución tienes \( \Sigma'_{12} = P \Sigma Q^t \) (creo que te falta el símbolo de transpuesta) y aplicar el resultado anterior.

[Asdfgh]

Busco una demostración un poco más técnica. Es evidente que si \( \Sigma_{12}=0 \) entonces \( Cov(X_1,X_2)=0 \) pero con decir eso bastaría para demostrarlo? Lo veo demasido sencillo no sé, a lo mejor me equivoco.

[Luis Fuentes]

Hola

 Dadas dos v.a \( X_1,X_2 \) con distribución conjunta continua, se cumple que son independientes si y sólo si se cumple que:

\( f(x_1,x_2)=f_1(x_1)f_2(x_2) \)

donde \( f,f_1,f_2 \) son respectivamente las funciones de densidad de \( (X_1,X_2),X_1 y X_2 \). Esto es inmediato de la definición de variables independientes (e incluso a veces para variables continuas se da como definición).

 Pues bien simplemente usando la expresión de la densidad de una distribución normal bivariada comprueba que si la matriz de covarianzas es diagonal, tal densidad se expresa como producto de las dos densidades marginales de cada variable. Es bastante inmediato esencialmente usando que \( e^{a+b}=e^ae^b \).

Saludos.