Autor Tema: Problema de independencia entre variables

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28 Diciembre, 2019, 06:35 pm
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Asdfgh

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Buenas tardes.

Necesito ayuda con este problema de estadística que no logro responder.

Considera \( \textbf{X}\sim{N_2(\mu,\Sigma)} \) con \( \mu=\left[\begin{array}{cc}{2}\\{2}\end{array}\right] \) y \( \Sigma=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix} \) y las matrices \( A=\left[\begin{array}{cc}{1}&{1}\end{array}\right]\ y \ B=\left[\begin{array}{cc}{1}&{-1}\end{array}\right] \). Demostrar que \( A\textbf{X}\ y \ B\textbf{X} \) son independientes.

Si alguien me puede ayudar lo agradezco.

Un saludo.

28 Diciembre, 2019, 09:22 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Buenas tardes.

Necesito ayuda con este problema de estadística que no logro responder.

Considera \( \textbf{X}\sim{N_2(\mu,\Sigma)} \) con \( \mu=\left[\begin{array}{cc}{2}\\{2}\end{array}\right] \) y \( \Sigma=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix} \) y las matrices \( A=\left[\begin{array}{cc}{1}&{1}\end{array}\right]\ y \ B=\left[\begin{array}{cc}{1}&{-1}\end{array}\right] \). Demostrar que \( A\textbf{X}\ y \ B\textbf{X} \) son independientes.

Si alguien me puede ayudar lo agradezco.

Un saludo.

De la función de densidad de \( X \), que es

\( \displaystyle{
f_X(s,t)=\frac1{2\pi}\exp\left(-\frac{(s-2)^2+(t-2)^2}{2}\right)\tag1
} \)

entonces tenemos que si \( X=(Y,Z) \) las distribuciones marginales de \( X \) nos dejan las densidades de \( Y \) y de \( Z \), que son \( f_Y(s)=f_Z(s)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-(s-2)^2/2\right) \), es decir que \( Y,Z\sim \mathcal{N}(2,1) \). Además \( \mathrm{(1)}  \) nos muestra que \( Y \) y \( Z \) son independientes entre sí, ya que \( f_X=f_Y\cdot f_Z \).

Como \( AX=Y+Z \) y \( BX=Y-Z \) entonces tienes que demostrar que

\( \displaystyle{
\Pr[Y+Z\leqslant s\,\land\, Y-Z\leqslant t]=\Pr[Y+Z\leqslant s]\Pr[Y-Z\leqslant t]\tag2
} \)

Sin embargo para demostrar \( \mathrm{(2)}  \) no conozco una manera elemental. La idea de demostración que tengo es: si definimos \( h:\Bbb R^2\to \Bbb R^2,\, (s,t)\mapsto (s+t,s-t) \) entonces \( h \) es una función lineal e invertible que puede ser representada por la matriz cuadrada \( (A,B)^T \). Entonces \( (AX,BX)=h(X) \), lo que utilizando un teorema de cambio de variable nos permite hallar la distribución de \( h(X) \) conociendo la de \( X \). Luego tendríamos que hallar la distribución de \( AX \) y de \( BX \) y ver que \( F_{h(X)}=F_{AX}\cdot F_{BX} \).

Seguramente debe haber una manera mucho más sencilla de resolver este ejercicio.

29 Diciembre, 2019, 10:46 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Necesito ayuda con este problema de estadística que no logro responder.

Considera \( \textbf{X}\sim{N_2(\mu,\Sigma)} \) con \( \mu=\left[\begin{array}{cc}{2}\\{2}\end{array}\right] \) y \( \Sigma=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix} \) y las matrices \( A=\left[\begin{array}{cc}{1}&{1}\end{array}\right]\ y \ B=\left[\begin{array}{cc}{1}&{-1}\end{array}\right] \). Demostrar que \( A\textbf{X}\ y \ B\textbf{X} \) son independientes.

Si alguien me puede ayudar lo agradezco.

No se que resultados previos puedes usar.

En general si \( X=(X_1,X_2)^t \) es un vector con distribución normal bivariada \( N(\mu,\Sigma) \) entonces la transformada \( Y=MX \) es una normal bivariada \( N(M\mu,M\Sigma M^t) \).

En nuestro caso:

\( M=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\\\end{pmatrix} \)

y la matriz de covarianzas de \( Y=(Y_1,Y_2)=(AX,BX) \) es:

\( M\Sigma M^t=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\\\end{pmatrix} \)

Dado que la matriz obtenida es diagonal, \( cov(Y_1,Y_2)=0 \) y las dos variables son independientes.

Más o menos aquí tienes toda la teoría que sustenta esto:

http://verso.mat.uam.es/~pablo.fernandez/3-prob2-curso17-18.pdf

Saludos.

30 Diciembre, 2019, 06:34 pm
Respuesta #3

Asdfgh

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Sí los resultados más o menos los tengo claros, lo que no sabía (porque no había realizado ningún ejercicio del estilo) era que podía construir la matriz M. Gracias.