Hola
Hola de nuevo.
Por favor, alguien puede ayudarme con esta demostración.
Si \( A \) y \( B \) son matrices cuadradas, muestre que si \( A \) y \( A+B \) tienen inversas entonces:
\( (A+B)^{-1}=A^{-1}(I+BA^{-1})^{-1} \)
Gracias
Multiplicando a la izquierda la expresión por \( A \), equivale comprobar que:
\( A(A+B)^{-1}=(I+BA^{-1})^{-1} \)
Es decir a comprobar que:
\( (I+BA^{-1})^{-1}=A(A+B)^{-1} \)
Y tiene más sentido plantearlo así porque del enunciado sabemos que \( A,A+B \) son inversibles pero no necesariamente \( I+BA^{-1} \).
Ahora para probar que una matriz es la inversa de otra hay que demostrar que su producto es la identidad. Tienes que demostrar entonces que:
\( (I+BA^{-1})A(A+B)^{-1}=I \)
¡Inténtalo!. Es muy inmediato.
Saludos.
