Autor Tema: Demostración espacio proyectivo

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24 Diciembre, 2019, 12:35 am
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Asdfgh

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En el plano proyectivo un punto no existe en el sentido del plano afín, sino que se define por una clase de equivalencia de vectores definida por \( \{k(x,y,1),k\neq 0\} \). Razone usando como base las coordenadas proyectivas de una recta que pase por el \( (0,0) \) del plano afín y verifique que los punto de la recta del infinito del plano proyectivo son necesariamente vectores del tipo \( (a,b,0) \) con \( a,b \) cualquier número.

Sé que la condición de la recta que pase por el origen no es necesaria, que se puede hacer con cualquier punto del espacio afín. Necesitaría una demostración lo más precisa posible para enterarme bien del tema.

Gracias por su atención.

24 Diciembre, 2019, 10:40 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

En el plano proyectivo un punto no existe en el sentido del plano afín, sino que se define por una clase de equivalencia de vectores definida por \( \{k(x,y,1),k\neq 0\} \). Razone usando como base las coordenadas proyectivas de una recta que pase por el \( (0,0) \) del plano afín y verifique que los punto de la recta del infinito del plano proyectivo son necesariamente vectores del tipo \( (a,b,0) \) con \( a,b \) cualquier número.

Sé que la condición de la recta que pase por el origen no es necesaria, que se puede hacer con cualquier punto del espacio afín. Necesitaría una demostración lo más precisa posible para enterarme bien del tema.

No acabo de entender exactamente que quieres demostrar.

Por definición el espacio proyectivo (real) es el conjunto cociente de \( \mathbb{R}^3-\{(0,0,0)\} \) por la relación:

\( (x,y,z)\sim (x',y',z')\quad \Leftrightarrow{}\quad (x,y,z)=k(x',y',z') \) para algún \( k\neq 0 \)

Y en principio por definición cualquier plano puede ser usado como recta de puntos del infinito de una cierta restricción del plano proyectivo a un plano afín. En particular el plano \( z=0. \)

No se si se trata de justificar porque tiene sentido considerar como recta del infinito la recta \( z=0 \).

La idea es la siguiente.

Considera el plano afín de coordenadas \( (x,y) \) colocado en el espacio tridimensional como el plano \( z=1 \). De esta forma un puno \( (x,y) \) del plano aparece como el punto \( (x,y,1) \).

Podemos pensar que tal punto está representado por la recta espacial que pasa por el origen y por \( (x,y,1) \). Y recíprocamente (casi) cualquier recta que pasa por el origen corta al plano \( z=1 \) en un único punto. Esto hace que tenga sentido representar los puntos del plano afín por rectas espaciales que pasan por el origen. Fíjate que una recta que pasa por el origen queda determinada por su vector director, \( (x,y,z) \) y el corte con el plano \( z=1 \) es \( (x/z,y/z,1) \).

Ahora dije (casi), ¿por qué?. Porque las rectas paralelas a \( z=1 \) no cortan al plano; no determinan ningún punto del plano afín. Veamos que tiene sentido "pensarlas" como puntos del infinito.

Considera una recta afín que pasa por el punto \( (a,b) \) y tiene como vector director \( (u,v). \) Su ecuación paramétrica es:

\( (x,y)=(a,b)+\lambda(u,v)=(a+\lambda u,b+\lambda v) \)

Si trasladamos esto al espacio tridimensional tal como hemos explicado antes quedan los puntos (en coordenadas proyectivas):

\( (a+\lambda u,b+\lambda v,1) \)

Ahora dividimos por \( \lambda \) teniendo en cuenta que coordenadas proyectivas proporcionales (que no representan otra cosa que una recta espacial por el origen a través de su vector director) definen un mismo punto afín:

\( \left(\dfrac{a}{\lambda}+u,\dfrac{b}{\lambda}+v,\dfrac{1}{\lambda}\right) \)

Si hacemos tender \( \lambda\to \infty \), "buscando" el punto del infinito de la recta queda:

\( \displaystyle\lim_{\lambda  \to{+}\infty}{}\left(\dfrac{a}{\lambda}+u,\dfrac{b}{\lambda}+v,\dfrac{1}{\lambda}\right)=(u,v,0) \)

Es decir el punto del infinito de la recta que pasaba por \( (a,b) \) y tenía como vector director \( (u,v) \) queda representado por la recta espacial que pasa por el origen, está contenida en el plano \( z=0 \) y en la misma dirección sobre el plano \( XY \) precisamente el vector director de la recta original.

Es decir vemos que de manera natural los puntos del infinito de la recta escogida tienen la tercera coordenada proyectiva nula.

Te invito a "jugar" visualmente con estas ideas aquí:

http://caminos.udc.es/info/asignaturas/grado_tecic/101/AL2/afinampliado.html

Saludos.

25 Diciembre, 2019, 02:01 pm
Respuesta #2

Asdfgh

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Muchas gracias como siempre Luis claro en las explicaciones.

Creo que he entendido más o menos la idea. Creo que la idea del enunciado que yo planteaba es que la recta
no es una arbitraria si no la que tiene como coordenadas a=0, b=0.

Un saludo