Autor Tema: Duda sobre rGCROT

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24 Diciembre, 2019, 12:20 am
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pierrot

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Hola,

¿Alguien me podría decir por qué en la pág. 9 la forma de la solución es \( x_m=x_0+V_my+UR^{-1}z \)?

Supongo que se deduce a partir de la relación de Arnoldi aumentada, pero hace tiempo lo estoy pensando y no lo veo claro.
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24 Diciembre, 2019, 02:05 pm
Respuesta #1

pierrot

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Acabo de entender la actualización de \( x_0 \). O sea, arranca con una aproximación inicial \( \hat{x} \) y un residuo inicial \( \hat{r} \) cuya relación es

\( \hat{r}=b-A\hat{x} \)

A continuación, modifica con cierto criterio \( \hat{r} \) y lo transforma en \( r_0 \). Bueno, entonces tiene que actualizar en forma acorde el estimador inicial. Llámese \( x_0 \) al valor actualizado de \( \hat{x} \). Es decir, debe hallarse \( x_0 \) tal que

\( b-Ax_0=r_0 \)

Observar que

\( \begin{align*}
    b-Ax_0&=r_0\\
    &=\hat{r}-CC^H\hat{r}\\
    &=(b-A\hat{x})-CC^H\hat{r}
\end{align*} \)

luego

\(
Ax_0=A\hat{x}+CC^H\hat{r}
 \)

pero como \( AU=CR \) entonces \( AUR^{-1}=C \). Sustituyendo,

\( \begin{align*}
    Ax_0&=A\hat{x}+AUR^{-1}C^H\hat{r}\\
    &=A(\hat{x}+UR^{-1}C^H\hat{r})
\end{align*} \)

luego

\( x_0=\hat{x}+UR^{-1}C^H\hat{r}=\hat{x}+UR^{-1}\xi \)

que es la fórmula que muestra el pseudocódigo.

Me faltaría entender por qué se toma \( x_m \) como \( x_0+V_my+UR^{-1}z \)...
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