[zimbawe]

Hola, tengo el siguiente ejercicio, encuentro un contraejemplo pero no me gusta porque lo veo muy forzado, además, por lo que sé una función que tiene discontinuidades en un número infinito de puntos no minerales no es integrable (esto lo he oído por ahí), no sé que tan cierto sea. Lo que quiero es que me indiquen un ejemplo más trivial.
Sea \( Hom([0,1],\mathbb{R}) \) el conjunto de todas las funciones no necesariamente continuas, probar que \( d_2(f,g)=\displaystyle\int_{0}^{1}(f(x)-g(x))^{2} \) no define una métrica.
Yo tomé:
\( f(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ 2]{x-2}} \) si 0≤x≤1/2 0 en otro caso y
\( g(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ 2]{5/2-x}} \) si 1/2≤x≤1 0 en otro caso.
Y contradice la primera propiedad de la métrica. Pero no sé. Mil gracias.

[zimbawe]

De hecho creo que no es métrica. Porque si tomamos
\( f(x)=x \)
\( g(x)=x+1 \)
\( h(x)=x+\displaystyle\frac{2}{3} \)
Pues \( d(f,g)>d(f,h)+d(g,h) \)
¿Cómo debería estar escrita para que sea métrica?¿Y si así fuese como encuentro un contra ejemplo válido?

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, tengo el siguiente ejercicio, encuentro un contraejemplo pero no me gusta porque lo veo muy forzado, además, por lo que sé una función que tiene discontinuidades en un número infinito de puntos no minerales no es integrable (esto lo he oído por ahí), no sé que tan cierto sea. Lo que quiero es que me indiquen un ejemplo más trivial.
Sea \( Hom([0,1],\mathbb{R}) \) el conjunto de todas las funciones no necesariamente continuas, probar que \( d_2(f,g)=\displaystyle\int_{0}^{1}(f(x)-g(x))^{2} \) no define una métrica.
Yo tomé:
\( f(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ 2]{x-2}} \) si 0≤x≤1/2 0 en otro caso y
\( g(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ 2]{5/2-x}} \) si 1/2≤x≤1 0 en otro caso.
Y contradice la primera propiedad de la métrica. Pero no sé. Mil gracias.

No veo que con esas funciones se contradiga propiedad alguna.

Por otra parte sería más razonable que la candidata a métrica estuviese definida fuese:

\( d_2(f,g)=\sqrt{\displaystyle\int_{0}^{1}(f(x)-g(x))^{2}} \)

En otro caso ni con las continuas es métrica (como muestras en tu segundo ejemplo).

Spoiler

Sería como pretender que \( |x-y|^2 \) fuese una distancia en los reales. Falla la propiedad triangular.

[cerrar]

Por otra parte para poder definir esa candidatas a métricas las funciones si no son continuas al menos deben de ser integrables.

Finalmente y una vez arregladas todas estas cuestiones, la propiedad típica que falla por no tener continuidad es esta:

\( d_2(f,g)=0\quad \Rightarrow{}\quad f=g \)

Como ejemplo basta tomar una función que toma valor constante en todo el intervalo \( [0,1] \) y otra idéntica a ella salvo en un punto.

Saludos.

[zimbawe]

Mil gracias Luis. Me maté buscando ejemplos y no los encontraba. Eres un maestrazo.