Autor Tema: Escalares para Homografías

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23 Diciembre, 2019, 12:56 pm
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Asdfgh

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Buenos días.

Llevo algún tiempo sin estar activo en el foro pero vuelvo para ver si podeis resolverme una duda.

¿Cuál es el menor número de escalares necesarios para fijar una homografía general y lo mismo para una homografía afín?

https://en.wikipedia.org/wiki/Homography

Necesito ayuda porque la verdad es que estoy bastante perdido.

Un saludo.

24 Diciembre, 2019, 09:54 am
Respuesta #1

geómetracat

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Una homografía general viene dada por un isomorfismo de los espacios vectoriales subyacentes. Es decir, si \( P(E),P(F) \) son dos espacios proyectivos de dimensión \( n \), una homografía viene dada por un isomorfismo \( f:E \to F \). Pero dos isomorfismos \( f,g:E \to F \) que difieren multiplicativamente por un escalar (es decir, existe \( \lambda \in k \) tal que \( g = \lambda f \)) determinan la misma homografía entre los espacios proyectivos. Por tanto, necesitas tantos escalares como para determinar un isomorfismo entre dos espacios vectoriales de dimensión \( n+1 \) (que son \( (n+1)^2 \)) menos uno.

No tengo muy claro qué es una homografía afín. Si puedes poner la definición que manejas lo miramos a ver.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

24 Diciembre, 2019, 10:10 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

No tengo muy claro qué es una homografía afín. Si puedes poner la definición que manejas lo miramos a ver.

Supongo que será una homografía que restringe a un espacio afín, es decir, que deja invariante un determinado hiperplano que se toma como un hiperplano del infinito. Equivale a una aplicación afín en un espacio afín \( n \) dimensional, que viene determinada por una aplicación lineal en un espacio vectorial de dimensión \( n \) y un desplazamiento, es decir, por \( n^2+n \) parámetros.

Saludos.

24 Diciembre, 2019, 11:56 am
Respuesta #3

geómetracat

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Tiene mucho sentido sí. Es decir, es simplemente la extensión de una afinidad al proyectivo. Así ya está todo resuelto.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)