Hola a tod@s.
Es un ejercicio interesante, aunque un poco largo. Intentaré hallar un método más directo.
1) Velocidad del cdm del cilindro en B. Como desde el inicio hasta el punto B, no hay rozamiento, el cilindro desliza sin rodar hasta el punto B. La velocidad del cdm en B es
\( mgh=\dfrac{1}{2}mv_0^2 \),
\( v_0=\sqrt{2gh} \) (1).
2) Velocidad del cdm del cilindro, a partir de B.
\( \sum{F_x}=ma \). La única fuerza horizontal presente, es la de rozamiento.
\( F_r=ma \),
\( \mu mg=ma \),
\( a=\mu g \).
Y también \( v=v_0-at=v_0-\mu gt \) (2).
3) A partir de B, interviene la dinámica de rotación.
\( \sum{M}=I\alpha \), siendo la fuerza de rozamiento, la única que provoca un momento alrededor del cdm del cilindro,
\( F_rR=I\alpha \),
\( \mu mgR=\dfrac{1}{2}mR^2\alpha \),
\( \alpha=\dfrac{2\mu g}{R} \). Debido a que el cilindro empieza a girar con velocidad angular inicial nula,
\( \omega=\alpha t=\dfrac{2\mu g}{R}t \) (3).
4) Tiempo transcurrido entre B y el inicio de la rodadura.
La velocidad del punto de contacto (P) con el suelo, puede expresarse como \( v_p=v-\omega R \).
Substituyendo (2) y (3),
\( v_p=v_0-\mu gt-\dfrac{2\mu g}{R}tR=v_0-3\mu gt \).
El comienzo de la rodadura pura (sin deslizamiento), se produce cuando la velocidad del punto de contacto (P) con el suelo pasa a ser nula.
\( v_p=v_0-3\mu gt=0 \),
\( t=\dfrac{v_0}{3\mu g} \) (4).
5) Espacio recorrido entre B y el inicio de la rodadura.
Finalmente, \( x=v_0t-\dfrac{1}{2}at^2 \). Substituyendo (1), (4) y recordando que \( a=\mu g \),
\( x=\dfrac{15}{54}\dfrac{v_0^2}{\mu g}=\dfrac{5h}{9\mu} \).
Saludos cordiales,
JCB.
