Autor Tema: Base finita de vecindades

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15 Diciembre, 2019, 04:34 pm
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Steven_Math

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Buenas tardes, he tratado de responder y justificar la siguiente pregunta pero no he podido:

¿Existe algún espacio topológico \( X \) infinito, \( T_2 \) (Hausdorff) y compacto, y que para punto \( x \in X \)
sea posible hallar una base finita de vecindades?

Les agradecería mucho su ayuda.
Saludos

15 Diciembre, 2019, 06:32 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Supongo que la pregunta es "para cada punto \( x \in X \)...".

Te doy unas ideas para que lo pienses. Por un lado, si un punto \( x \in X \) tiene una base finita de entornos, entonces tiene una base de entornos que tiene un único elemento (la intersección de todos los elementos de la base de entornos). Por otro lado, si el espacio es Hausdorff y \( x \) tiene una base de entornos con un único elemento, entonces \( x \) es un punto aislado (¿por qué?). Ahora, ¿existen compactos Hausdorff infinitos cuyos puntos son todos aislados?
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

15 Diciembre, 2019, 06:36 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Buenas tardes, he tratado de responder y justificar la siguiente pregunta pero no he podido:

¿Existe algún espacio topológico \( X \) infinito, \( T_2 \) (Hausdorff) y compacto, y que para punto \( x \in X \)
sea posible hallar una base finita de vecindades?

Entiendo que es " para TODO punto \( x \in X \) sea posible hallar una base finita de vecindades?".

Ten en cuenta que si \( x \) tiene una base finita de vecindades, la intersección de todas ellas es un abierto \( U_x \) que está contenido en cualquier abierto que contenga a \( x \).

Ahora por ser el espacio Hausforff, \( U_x=\{x\} \). En otro caso existiría \( y\in U_x \), \( y\neq x \) que no puede separarse por abiertos de \( x \) (ya que como hemos dicho todo abierto que contenga a \( x \) contiene a \( U_x \)).

Por tanto estamos en un espacio con la topología discreta: todos los puntos son abiertos. En ese caso para que además sea compacto, el conjunto debe de ser finito. En otro caso la familia \( \{\{x\}\}_{x\in X} \) sería un recubrimiento por abiertos de \( X \) sin subrecubrimiento finito.

Conlusión: no existe tal espacio.

Saludos.

P.D. ¡Me volvió a ganar por una cabeza geómetracat!

16 Diciembre, 2019, 04:30 pm
Respuesta #3

Steven_Math

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Sí es para cada punto \( x\in X \).
Muchas gracias Geómetracat y Luis Fuentes por su gran ayuda.
Saludos.