[Sintesis]

No entiendo qué significa este operador, en el teórico que me dieron lo definen como si fuese una igualdad.
\(
A\subseteq{B} \Longleftrightarrow{\forall{X}(X\in{A}\Rightarrow{X\in{B}})}
 \)

Y la definición de este operador me la dieron como uno de los casos que hace real la implicación del otro, o sea A está incluido en B, pero B tiene un elemento que A no.
\(
A\subset{B} \Longleftrightarrow{A\subseteq{B}\wedge \exists{X:(X\in{B}\wedge X\not\in{A})}}
 \)

Pero los casos que quedan para que el operador \( \subseteq{} \) se use en lugar de \( \subset{} \) son los mismos que los de la igualdad de conjuntos, ¿O sea es lo mismo que una igualdad o entendí mal?

[Fernando Revilla]

Pero los casos que quedan para que el operador \( \subseteq{} \) se use en lugar de \( \subset{} \) son los mismos que los de la igualdad de conjuntos, ¿O sea es lo mismo que una igualdad o entendí mal?

Considera (por ejemplo) \( A=\left\{{a}\right\} \) y \( B=\left\{{a,b}\right\} \). Tenemos \( A\subseteq{B} \) y \( A\ne B \). La igualdad de dos conjuntos \( A \) y \( B \) se verifica si y sólo si \( A\subseteq{B} \) y \( B\subseteq{A} \).

[Sintesis]

Pero los casos que quedan para que el operador \( \subseteq{} \) se use en lugar de \( \subset{} \) son los mismos que los de la igualdad de conjuntos, ¿O sea es lo mismo que una igualdad o entendí mal?

Considera (por ejemplo) \( A=\left\{{a}\right\} \) y \( B=\left\{{a,b}\right\} \). Tenemos \( A\subseteq{B} \) y \( A\ne B \). La igualdad de dos conjuntos \( A \) y \( B \) se verifica si y sólo si \( A\subseteq{B} \) y \( B\subseteq{A} \).

Claro, pero en ese caso debería usarse \( \subset{} \) por \( \exists{b}: (b\in{B \wedge b \not\in{A}}) \).

[Fernando Revilla]

Pero los casos que quedan para que el operador \( \subseteq{} \) se use en lugar de \( \subset{} \) son los mismos que los de la igualdad de conjuntos, ¿O sea es lo mismo que una igualdad o entendí mal?

Considera (por ejemplo) \( A=\left\{{a}\right\} \) y \( B=\left\{{a,b}\right\} \). Tenemos \( A\subseteq{B} \) y \( A\ne B \). La igualdad de dos conjuntos \( A \) y \( B \) se verifica si y sólo si \( A\subseteq{B} \) y \( B\subseteq{A} \).

Claro, pero en ese caso debería usarse \( \subset{} \) por \( \exists{b}: (b\in{B \wedge b \not\in{A}}) \).

No, no hay razón para usar necesrariamente \( \subset{} \) pues en tal ejemplo se verifican los dos contenidos, es decir \( A\subset{B} \) y \( A\subseteq{}B \).