Autor Tema: Homeomorfismo y adherencia

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11 Diciembre, 2019, 10:15 am
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conchivgr

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Hola.

Sean \( X \) e \( Y \) dos espacios topológicos, y \( f:X\longrightarrow{Y} \) un homeomorfismo.

Demostrar que \( \forall{A}\subset{X},f(\overline{A})=\overline{f(A)} \).

\( \Rightarrow{} \) Demostramos primero que \( f(\overline{A})\subset{\overline{f(A)}} \).

Al ser \( f \) continua (es homeomorfismo), sabemos que si \( A\subset{Y} \) es cerrado en \( Y \), entonces \( f^{-1}(A) \) es cerrado en \( X \).
Entonces, trivialmente temenos que \( A\subset{f^{-1}(f(A))}\subset{f^{-1}(\overline{f(A)})} \).

Como el conjunto \( \overline{f(A)} \) es cerrado, si tomamos clausuras, temenos que \( \overline{A}\subset{\overline{f^{-1}(f(A))}}\subset{f^{-1}(\overline{f(A)})} \), por lo que \( f(\overline{A})\subset{\overline{f(A)}} \) (el penúltimo contenido no lo entiendo, es es mismo que el del final del post).

\( \Leftarrow{} \)  Demostramos ahora que \( \overline{f(A)}\subset{ f(\overline{A})} \).
No podía completarla y el libro me dice lo siguiente:

Sea \( B\subset{X} \). Al ser \( f \) un homeomorfismo, tenemos que \( f^{-1} \) es continua, por lo que \( f^{-1}(\overline{B})\subset{\overline{f^{-1}(B)}} \) (misma demostración que antes). Hasta aquí entendido. Pero ahora dice:

la demostración se completa haciendo \( B=f(A) \).

Aquí es donde tengo la duda. Si hago \( B=f(A) \), tenemos que \( f^{-1}(\overline{B})\subset{\overline{f^{-1}(B)}} \), es decir,

\( f^{-1}(\overline{f(A)})\subset{\overline{f^{-1}(f(A))}} \).

Por un lado, temenos que \( f(f^{-1}(\overline{f(A)})\subset{\overline{f(A)}}\subset{\overline{f^{-1}(f(A))}} \).

Para terminar la demostración, tendríamos que tener \( \overline{f^{-1}(f(A))}\subset{f^{-1}(\overline{f(A)})} \).

Claro, al aplicar \( f \) a la izquierda, sería \( f(\overline{f^{-1}(f(A))})\subset{\overline{f(A)}} \).

De ser así, que lo es porque lo hemos usado en la demostración anterior, no lo veo, no entiendo el último contenido.

Es decir, ¿para todo \( A\subset{X} \), \( \overline{f^{-1}(f(A))}\subset{f^{-1}(\overline{f(A)})} \)?.

Besos.

11 Diciembre, 2019, 10:43 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Sean \( X \) e \( Y \) dos espacios topológicos, y \( f:X\longrightarrow{Y} \) un homeomorfismo.

Demostrar que \( \forall{A}\subset{X},f(\overline{A})=\overline{f(A)} \).

\( \Rightarrow{} \) Demostramos primero que \( f(\overline{A})\subset{\overline{f(A)}} \).

Al ser \( f \) continua (es homeomorfismo), sabemos que si \( A\subset{Y} \) es cerrado en \( Y \), entonces \( f^{-1}(A) \) es cerrado en \( X \).
Entonces, trivialmente temenos que \( A\subset{f^{-1}(f(A))}\subset{f^{-1}(\overline{f(A)})} \).

En realidad y dado que \( f \) es biyectiva por ser homeomorfismo el contenido \( A\subset{f^{-1}(f(A))} \) es incluso una igualdad \( A=f^{-1}(f(A)) \).

Citar
Como el conjunto \( \overline{f(A)} \) es cerrado, si tomamos clausuras, temenos que \( \overline{A}\subset{\overline{f^{-1}(f(A))}}\subset{f^{-1}(\overline{f(A)})} \), por lo que \( f(\overline{A})\subset{\overline{f(A)}} \) (el penúltimo contenido no lo entiendo, es es mismo que el del final del post).

De:

\( f^{-1}(f(A))\subset{f^{-1}(\overline{f(A)})} \)

Aplicando clausuras:

\( \overline{f^{-1}(f(A))}\subset\overline{f^{-1}(\overline{f(A)})} \)

Pero como \( f \) es continua y \( \overline{f(A)} \) es cerrado, \( f^{-1}(\overline{f(A)}) \) es cerrado y coincide con su clausura; por tanto:

\( \overline{f^{-1}(f(A))}\subset\overline{f^{-1}(\overline{f(A)})}=f^{-1}(\overline{f(A)}) \)

Citar
\( \Leftarrow{} \)  Demostramos ahora que \( \overline{f(A)}\subset{ f(\overline{A})} \).
No podía completarla y el libro me dice lo siguiente:

Sea \( B\subset{X} \). Al ser \( f \) un homeomorfismo, tenemos que \( f^{-1} \) es continua, por lo que \( f^{-1}(\overline{B})\subset{\overline{f^{-1}(B)}} \) (misma demostración que antes). Hasta aquí entendido. Pero ahora dice:

la demostración se completa haciendo \( B=f(A) \).

Aquí es donde tengo la duda. Si hago \( B=f(A) \), tenemos que \( f^{-1}(\overline{B})\subset{\overline{f^{-1}(B)}} \), es decir,

\( f^{-1}(\overline{f(A)})\subset{\overline{f^{-1}(f(A))}} \).  (*)

Hasta aquí de acuerdo. Pero no se porqué pones esto:

Citar
Por un lado, temenos que \( f(f^{-1}(\overline{f(A)})\subset{\color{red}\overline{f(A)}\color{black}}\subset{\overline{f^{-1}(f(A))}} \).

No entiendo el término intermedio marcado en rojo. Simplemente desde aquí:

\( f^{-1}(\overline{f(A)})\subset{\overline{f^{-1}(f(A))}} \).  (*)

Primero tienes en cuenta que por ser \( f  \)biyectiva \( f^{-1}(f(A))=A \). Queda:

\( f^{-1}(\overline{f(A)})\subset{\overline{A}} \).

Luego aplicando \( f \) a ambos lados:

\( f(f^{-1}(\overline{f(A)}))\subset{f(\overline{A})} \).

Nuevamente por ser \( f \) biyectiva \( f(f^{-1}(\overline{f(A)})))=\overline{f(A)} \) y resulta:

\( \overline{f(A)}\subset{f(\overline{A})} \).

Citar
Es decir, ¿para todo \( A\subset{X} \), \( \overline{f^{-1}(f(A))}\subset{f^{-1}(\overline{f(A)})} \)?.

Esto ya te lo contesté antes. Saludos.

Saludos.

11 Diciembre, 2019, 03:25 pm
Respuesta #2

Bobby Fischer

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Hola,

De hecho, para la última contención:

\( A\subset \overline{A} \)

\( f(A)\subset f(\overline{A}) \)

\( \overline{f(A)}\subset \overline{f(\overline{A})}=f(\overline{A}) \)

11 Diciembre, 2019, 04:01 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

De hecho, para la última contención:

\( A\subset \overline{A} \)

\( f(A)\subset f(\overline{A}) \)

\( \overline{f(A)}\subset \overline{f(\overline{A})}=f(\overline{A}) \)

Correcto. Ahí se usa que por ser \( f \) homeomorfismo lleva cerrados en cerrados.

Saludos.

11 Diciembre, 2019, 08:05 pm
Respuesta #4

conchivgr

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Hola.
Entendido,  muchas gracias a los dos por la ayuda.
Besos.