Autor Tema: Probar que [texx]A=\{x\in X: f(x)=g(x)\}[/texx] es cerrado.

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10 Diciembre, 2019, 08:54 pm
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Bobby Fischer

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Hola,

5) Si \( f,g:(X,\mathcal{T})\to (\mathbb{R},\mathcal{T}_e) \) son continuas, probar que \( A=\{x\in X: f(x)=g(x)\} \) es cerrado. Como consecuencia, si \( f \) y \( g \) coinciden en un conjunto denso, \( f=g \).

Puedo hacerlo como lo subrayado en amarillo del pdf, puesto que la topología euclídea en \( \mathbb{R} \) es un espacio \( T_2 \). Pero el razonamiento es demasiado avanzado. Y por otra parte, creo que para llegar a la conclusión \( f=g \), basta que las funciones sean continuas y coincidan en un conjunto denso. No creo que importe que sea cerrado. Todo lo cual puede vislumbrarse pero soy incapaz de probarlo.

Edit: He encontrado esto: http://topologiaparausuarios.es/Curso_de_Topologia/D4-HausDiag-2.html. Sólo me hace falta probar que si son continuas y coinciden en un denso, entonces son iguales.

Edit 2: Por reducción al absurdo, si f y g son continuas y coinciden en un denso, supongamos que no son iguales. Entonces se diferencian en al menos un punto. Por ser continuas, existe un entorno donde f y g no coinciden en ningún punto. Pero como coinciden en un denso, para cualquier entorno deben existir puntos donde sí coinciden. De ahí la contradicción.

Saludos.

11 Diciembre, 2019, 02:33 am
Respuesta #1

geómetracat

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Ya te has respondido tú mismo, pero déjame hacer un comentario. La demostración que das en el edit 2 usa de manera crucial que el espacio de llegada es Hausdorff, y por tanto indirectamente que el conjunto \( A \) es cerrado. Como en el ejercicio el espacio de llegada son los reales con la topología usual no hay problemas, pero es interesante ver qué pasa en situaciones más generales. Concretamente se usa que el espacio de llegada es Hausdorff en la afirmación:

Por ser continuas, existe un entorno donde f y g no coinciden en ningún punto.
Para probar esto, necesitas poder tomar dos entornos disjuntos de \( f(x),g(x) \) donde \( x \notin A \).

En general, si el espacio de llegada no es Hausdorff, no es necesariamente cierto que dos funciones continuas que coincidan en un denso coincidan en todas partes. Un contraejemplo es la "recta con dos orígenes" (el espacio que se obtiene al tomar dos copias de la recta real e identificar los puntos de una copia con el correspondiente punto de la otra, excepto los ceros), que llamaré \( X \). Este espacio no es Hausdorff, pues no es posible encontrar entornos disjuntos de los dos orígenes. Si consideras las aplicaciones continuas \( f,g:\Bbb R \to X \) de manera que \( f \) es la inclusión en la primera copia y \( g \) en la segunda, tienes que \( \{x \in \Bbb R \mid f(x)=g(x)\}= \Bbb R - \{0\} \), que es denso, pero sin embargo no es todo \( \Bbb R \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

11 Diciembre, 2019, 03:53 pm
Respuesta #2

Bobby Fischer

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