[sarac]

Hola! Me podrían dar una mano con la demostración que adjunto en la imagen. He pensado en el teorema de Heine - Borel, ya que se debe demostrar una cubierta que no contenga a x pero si un punto cercano a este, pero la verdad no sé cómo iniciar, y mucho menos como aplicarlo. He tenido muchas dudas con los temas desarrollos en análisis Real

Si \( F \) es un conjunto cerrado no vacío de \( \Bbb R^p \) y \( x\not\in F \). ¿Hay algún punto único de \( F \) que sea el más próximo a \( x \)?.

[ingmarov]

Hola Sarac

Lee las reglas y el tutorial de LaTex, encontrarás enlaces en la parte superior de la página. Debes escribir el problema directamente en tu mensaje, y con más razón uno con tan poco texto.

Cuando subas una foto intenta editarla, cortarla al tamaño necesario, así no será tan pesada.


Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Si \( F \) es un conjunto cerrado no vacío de \( \Bbb R^p \) y \( x\not\in F \). ¿Hay algún punto único de \( F \) que sea el más próximo a \( x \)?.

Piensa en \( F \) una circunferencia y en \( x \) su centro.

Saludos.

[sarac]

Se podría suponer una bola abierta, con centro en \( x \) y demostrar que es una contradicción, y por ende existe un punto cercano a este, pero que no lo toca o toma al punto \( x \)?

[Luis Fuentes]

Hola

Se podría suponer una bola abierta, con centro en \( x \) y demostrar que es una contradicción, y por ende existe un punto cercano a este, pero que no lo toca o toma al punto \( x \)?

No entiendo nada de lo que quieres decir ahí. ¿Una contradicción con qué afirmación?. ¿Qué conjunto \( F \) considerarías?.

Lo que yo digo es muy sencillo.

Considera \( F \) la circunferencia de centro el origen y radio 1. Es un conjunto cerrado y no vacío de \( \Bbb R^2. \)

Considera \( x=(0,0) \) el centro de la circunferencia. Todos los puntos de \( F \), de la circunferencia, están a distancia \( 1 \) de \( x \), luego es FALSO que exista un ÚNICO punto de \( F \) que sea el más próximo a \( x \).

Spoiler

Si es cierto que existe un punto en \( F \) (no necesariamente único) que minimiza la distancia a \( x \).

Un esbozo de la prueba sería algo así. El conjunto \( \{d(x,y)|y\in F\} \) es no vacío y acotado inferiomente por cero, luego tiene ínfimo \( d \).

Por definición de ínfimo dado \( n\in \Bbb N \) existe \( y_n\in F \) tal que:

\( d\leq d(x,y_n)\leq d+\dfrac{1}{n} \)   (*)

Ahora \( \{y_n\} \) está en el compacto \( B[x,d+1] \) y por tanto tiene una subsucesión convergente a \( y \). Por ser \( F \) cerrado y \( \{y_n\}\subset F \), el límite de la sucesión está en \( F \) y usando (*) se deduce que \( d(x,y)=d \).

[cerrar]

Saludos.