Hola!
En el conjunto \( \Bbb{R} \) de los números reales se define la relación de equivalencia \( \mathcal{S} \) como \[x\mathcal{S}y\iff f(x)=f(y),\;\text{donde \(f\colon\Bbb{R}\to\Bbb{R}\mid f(x)=x^2-2x\)}.\] a) Hacer el gráfico de la función asociada \(f\), y el gráfico de la relación \(\mathcal{S}\).
b) Hallar las clases de equivalencia y escribir el conjunto cociente.
a)
Para graficar \(f\) notemos que se trata de una función definida en los reales, por lo que su gráfica se corresponde con una parábola:
Para graficar la relación \(\mathcal{S}\) consideremos escribirla así: \[x\mathcal{S}y\implies f(x)=f(y)\implies x^2-2x=y^2-2y\implies x^2-y^2=2x-2y\implies(x-y)(x+y)=2(x-y).\] Pasando el miembro derecho al izquierdo y sacando factor común, \((x-y)(x+y-2)=0\), es decir que \[\mathcal{S}=\{(x,y)\in\Bbb{R}^2\mid x-y=0\vee x+y-2=0\}=\{(x,y)\in\Bbb{R}^2\mid y=x\vee y=2-x\}.\] Geométricamente, \(\mathcal{S}\) representa la unión de las rectas \(y=x\) (la identidad) y \(y=2-x\):
b)
Las clases de equivalencia representan todos los números reales que tienen igual imagen bajo \(f\). En otras palabras, \[[ x]=\{a\in\Bbb{R}\mid a\mathcal{S}x\}=\{a\in\Bbb{R}\mid f(a)=f(x)\}=\{a\in\Bbb{R}\mid a=x\vee a=2-x\}=\{x,2-x\}.\] Observemos que en general todas las clases están formadas por \(2\) elementos salvo la clase de \(x=1\) que tiene un elemento, cuya clase es \([1]=\{1\}\) pues es el vértice de la parábola.
El conjunto cociente viene determinado por todas las clases de equivalencia escritas una vez. Mirando el gráfico de la relación podemos tomar como representante el \((-\infty,1]\) o bien \([1,\infty)\). Si elegimos el primero el conjunto cociente es \[ \frac{\Bbb{R}}{\mathcal{S}}=\{[ x]\mid x\in(-\infty,1]\}.\]
¿Son correctos tanto mis razonamientos como las palabras utilizadas?Gracias!!
Saludos
