[Maria@]

Una caja cerrada conla base cuadrada cuyo volumen es de \( 12m^3 \) debe se construida con dos tipos diferentes de materiales la tapa superior estará hecha de metal que tiene un costo de $2 por metro cuadrado y el resto de madera de un costo de $1 por metro cuadrado
Calcule las dimensiones de la caja para el costo del material sea mínima. (como lo ven)

\( x * y = 12m^3 \)                                 \( c = 4x + 2y \)
\( y= \dfrac{12}{x} \)                                          \( c = 4x + 2 * \dfrac{12}{x}  \)
                                                                       
                                                      \( c = 4x + \dfrac{24}{x}  \)

[Richard R Richard]

no lo veo bien

tu volumen como tiene base cuadrada de lado \( l \) y altura \( h \)

\( v=l^2h=12m^3 \)

luego \( h =\dfrac{12}{l^2}
 \)
la tapa tiene una superficie de \( a=l^2 \)

y el resto de la caja tiene 4 lados de area \( lh \) y la base de \( l^2 \)

luego tu costo es

\( c=1\$(4l\dfrac{12}{l^2}+l^2)+2\$l^2 \)

derivas a \( c \) respecto de \( l \) e igualas a 0

\( c=\dfrac{\color{red}\cancel{36}\color{black}48}{l}+3l^2 \)

\( \dfrac{dc}{dl}=-\dfrac{\color{red}\cancel{36}\color{black}48}{l^2}+6l=0 \)

\( \dfrac{\color{red}\cancel{36}\color{black}48}{l^2}=\color{red}\cancel{6}\color{black}8l \)

\( l=\sqrt[3]{\color{red}\cancel{6}\color{black}8}\color{blue}=2 \)


 así averiguas cuanto mide el lado \( l \) luego sabrás cuanto vale \( h \) , y remplazando en la ecuación del costo, tienes el costo mínimo.

[Maria@]

no lo veo bien

tu volumen como tiene base cuadrada de lado \( l \) y altura \( h \)

\( v=l^2h=12m^3 \)

luego \( h =\dfrac{12}{l^2}
 \)
la tapa tiene una superficie de \( a=l^2 \)

y el resto de la caja tiene 4 lados de area \( lh \) y la base de \( l^2 \)

luego tu costo es

\( c=1\$(4l\dfrac{12}{l^2}+l^2)+2\$l^2 \)

derivas a \( c \) respecto de \( l \) e igualas a 0

\( c=\dfrac{36}{l}+3l^2 \)

\( \dfrac{dc}{dl}=-\dfrac{36}{l^2}+6l=0 \)

\( \dfrac{36}{l^2}=6l \)

\( l=\sqrt[3]{6} \)


 así averiguas cuanto mide el lado \( l \) luego sabrás cuanto vale \( h \) , y remplazando en la ecuación del costo, tienes el costo mínimo.

No entiendo como dio 36

[feriva]

No entiendo como dio 36

Hola.

Es un despiste creo (o el despistado soy yo); me sale

\( c=(4l\dfrac{12}{l^{2}}+l^{2})+2l^{2}
  \)

\( c=\dfrac{48}{l}+3l^{2}\Rightarrow
  \)

\( \dfrac{dc}{dl}=(\dfrac{48}{l}+3l^{2})^{\prime}=0\Rightarrow
  \)

\( -\dfrac{48}{l^{2}}+6l=0
  \)

\( \dfrac{48}{l^{2}}=6l
  \)

\( l^{3}=8
  \)

\( l=2 \)

Saludos.

[Richard R Richard]

Si era un despiste, perdon maria, gracias feriva!!!