[alcmena]

Por favor, necesito ayuda con la siguiente demo.

Sean A y B matrices cuadradas. Sabiendo que A es inversible, demuestre:

 \(  (A+B)A^{-1}(A-B)=(A-B)A^{-1}(A+B)  \)

Gracias

[Ricardo Boza]

Hola,

Desarrolla el primer miembro para llegar a \( A-BA^{-1}B \).
Desarrolla el segundo miembro para llegar a lo mismo.

Si dos cosas son iguales a una tercera, entonces son iguales entre sí.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Por favor, necesito ayuda con la siguiente demo.

Sean A y B matrices cuadradas. Sabiendo que A es inversible, demuestre:

 \(  (A+B)A^{-1}(A-B)=(A-B)A^{-1}(A+B)  \)

Tienes:

\( (A+B)A^{-1}(A-B)=(AA^{-1}+BA^{-1})(A-B)=(I+BA^{-1})(A-B)=\\=A-B+BA^{-1}A-BA^{-1}B=A-B+B-BA^{-1}B=A-BA^{-1}B \)

Haz el desarrollo análogo para el otro miembro y verás que te da lo mismo.

Saludos.

P.D. Se adelantó Bobby Fischer mientras escribía esto.

[feriva]

Por favor, necesito ayuda con la siguiente demo.

Sean A y B matrices cuadradas. Sabiendo que A es inversible, demuestre:

 \(  (A+B)A^{-1}(A-B)=(A-B)A^{-1}(A+B)  \)

Gracias

Vaya, parece que las letras no están colocadas “ad hoc”, la ecuación parece no dejarse.

En estos casos siempre se puede recurrir al método de “hacerlo haciéndolo”; que no hay que pensar nada, sólo operar con paciencia hasta llegar al final:

EDITADO

Distributiva en lo azul

\( {\color{blue}(A+B)A^{-1}}(A-B)=(A-B)A^{-1}(A+B)
  \)

\( {\color{magenta}(I+BA^{-1})}(A-B)=(A-B)A^{-1}(A+B)
  \)

Distributiva otra vez

\( {\color{blue}(I+BA^{-1})(A-B)}=(A-B)A^{-1}(A+B)
  \)

\( {\color{blue}(I+BA^{-1})A-(I+BA^{-1})B}=(A-B)A^{-1}(A+B)
  \)

\( {\color{blue}(A+B)-(B+BA^{-1}B)}=(A-B)A^{-1}(A+B)
  \)

\( A-BA^{-1}B=(A-B)A^{-1}(A+B)
  \)

Distributiva al otro lado

\( A-BA^{-1}B=(A-B){\color{blue}A^{-1}}(A+B)
  \)

\( A-BA^{-1}B=(I-BA^{-1})(A+B)
  \)

\( A-BA^{-1}B=(I-BA^{-1}){\color{blue}(A+B)}
  \)

\( A-BA^{-1}B={\color{blue}(I-BA^{-1})A+(I-BA^{-1})B}
  \)

\( A-BA^{-1}B=A-B+B-BA^{-1}B
  \)

\( A-BA^{-1}B=A-BA^{-1}B
  \)


Saludos.

[robinlambada]

Hola.

Por favor, necesito ayuda con la siguiente demo.

Sean A y B matrices cuadradas. Sabiendo que A es inversible, demuestre:

 \(  (A+B)A^{-1}(A-B)=(A-B)A^{-1}(A+B)  \)

Gracias

Vaya, parece que las letras no están colocadas “ad hoc”, la ecuación parece no dejarse.

En estos casos siempre se puede recurrir al método de “hacerlo haciéndolo”; que no hay que pensar nada, sólo operar con paciencia hasta llegar al final:

Distributiva en lo azul

\( {\color{blue}(A+B)A^{-1}}(A-B)=(A-B)A^{-1}(A+B)
  \)

\( {\color{magenta}(I+BA^{-1})}(A-B)=(A-B)A^{-1}(A+B)
  \)

Distributiva otra vez

\( {\color{blue}(I+BA^{-1})(A-B)}=(A-B)A^{-1}(A+B)
  \)

\( {\color{blue}(I+BA^{-1})A-(I+BA^{-1})B}=(A-B)A^{-1}(A+B)
  \)

\( A-B^{2}A^{-1}=(A-B)A^{-1}(A+B)
  \)

Distributiva al otro lado

\( A-B^{2}A^{-1}=(A-B){\color{blue}A^{-1}}(A+B)
  \)

\( A-B^{2}A^{-1}=(I-BA^{-1})(A+B)
  \)

\( A-B^{2}A^{-1}=(I-BA^{-1}){\color{blue}(A+B)}
  \)

\( A-B^{2}A^{-1}={\color{blue}(I-BA^{-1})A+(I-BA^{-1})B}
  \)

\( A-B^{2}A^{-1}=A-B+B-B^{2}A^{-1}
  \)

\( A-B^{2}A^{-1}=A-B^{2}A^{-1}
  \)

Saludos.

feriva, lo tienes mal.
No siempre se cumple la propiedad conmutativa entre matrices.

En general \( A-B^{2}A^{-1}\neq{}A-BA^{-1}B \)

Saludos.

[feriva]

feriva, lo tienes mal.

Muchas Gracias, Robin. Ya lo he corregido.

Saludos.

[alcmena]

Muchas gracias a tod@s or vuestra ayuda!!