porque es resta de vectores, y no sé si hay dos sistemas de referencia en juego. ¿Qué opináis, feriva?
No sé, parece un problema un poco distinto de lo que es la idea principal de la ecuación del cohete, luego lo miraré más despacio. Pero ya te digo que es mucho más simple que eso de los impactos para deducir la fórmula; mira, he buscado y he encontrado unos apuntes míos:
Vamos a suponer que el cohete despega de la Tierra. Entonces lleva una velocidad “v” y una aceleración \( \dfrac{dv}{dt}
\), por tanto marcha con una fuerza hacia arriba \( m\dfrac{dv}{dt}
\); donde “m” es la masa del cohete.
Se oponen al sentido de su marcha las fuerzas de gravedad y la de los gases; los vectores van hacia al otro lado, esto es claro, ¿no?
Entonces tenemos que igualar esas fuerzas poniendo el signo cambiado respecto de la del cohete:
\( -mg-w\cdot\dfrac{dm}{dt}=m\dfrac{dv}{dt}
\) (donde w es la velocidad de los gases).
Estamos hablando de un instante muy pequeño de tiempo para ambas cosas, cohete y gases, pero la velocidad “w” del gas se considera constante, sin que salga acelerando, de ahí que se tome “w” y no “dw”.
Despejando y multiplicando toda la ecuación por dt
\( -mgdt=mdv+w(dm)
\)
y dividiendo entre “m” y despejando “dv”
\( -gdt=dv+\dfrac{w(dm)}{m}
\)
\( dv=-gdt-w\cdot\dfrac{(dm)}{m}
\)
integrando a ambos lados
\( \int_{vi}^{vf}dv=-g\int_{ti}^{tf}dt-w\int_{mi}^{mf}\dfrac{dm}{m}
\)
queda
\( \Delta v=-g\Delta t-w(\, log(m_{f})-log(m_{i})\,)
\)
Ahora, por la famosa propiedad de los logaritmos, podemos escribir entonces
\( \Delta v=-g\Delta t-w\cdot log(\dfrac{m_{f}}{m_{i}})
\)
Seguidamente, podemos hacer \( -log(\dfrac{m_{f}}{m_{i}})=-log(\dfrac{m_{i}}{m_{f}})^{-1}=log(\dfrac{m_{i}}{m_{f}})
\) (por la propiedad de las potencias de los logaritmos en este caso).
Y queda
\( \Delta v=-g\Delta t+w\cdot log(\dfrac{m_{i}}{m_{f}})
\).
Cuando ya va por el espacio, sin estar influido por la gravedad, entonces es
\( \Delta v=w\cdot log(\dfrac{m_{i}}{m_{f}})
\).
Los gases se mueven respecto del cohete, en el espacio no hay que considerar más sistema de referencia cuando deja la Tierra lejos y cuando está lejos de cualquier cuerpo; cuando está despegando sí puedes considerar eso, pero no merece la pena.
Éste es el típico planteamiento; y no se ve nada que impacte contra ninguna cosa aquí, pura acción reacción de toda la vida; y menos impactan los gases, que van en sentido contrario ( salvo en el asiento, si el astronauta ha comido fabada
).
Saludos.
