[AlexFeynman]

Buenas.

Tengo el siguiente ejercicio: Si \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{a_n}=\displaystyle\frac{1}{2} \), que pasa con el límite \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{(a_n)^n} \).

Lo que he hecho ha sido llamar \( c_n=(a_n)^n=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}{a_n} \), entonces \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{c_n}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\prod_{k=1}^{n}{a_n}} \) y por el álgebra de límites, \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{c_n}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\prod_{k=1}^{n}{\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{a_n}}}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\prod_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{1}{2}}}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{1}{2^n}} \).

Habría que probar que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{1}{2^n}}=0 \). Sea \( \epsilon >0 \), si \( \displaystyle\frac{1}{2^n}<\epsilon \), entonces \( n>log_2(\displaystyle\frac{1}{\epsilon}) \) y tomando \( p=\lfloor log_2(\displaystyle\frac{1}{\epsilon}) \rfloor + 1 \) aseguramos que \( \forall{\epsilon>0},\exists{p\in{\mathbb{N}}}|\forall{n\geq{p}}, \displaystyle\frac{1}{2^n}<\epsilon \) con \( p=\lfloor log_2(\displaystyle\frac{1}{\epsilon}) \rfloor + 1 \)

Así estaría todo completo?

Un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

Tengo el siguiente ejercicio: Si \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{a_n}=\displaystyle\frac{1}{2} \), que pasa con el límite \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{(a_n)^n} \).

Lo que he hecho ha sido llamar \( c_n=(a_n)^n=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}{a_n} \), entonces \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{c_n}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\prod_{k=1}^{n}{a_n}} \) y por el álgebra de límites, \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{c_n}=\color{red}\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\prod_{k=1}^{n}{\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{a_n}}}\color{black}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\prod_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{1}{2}}}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{1}{2^n}} \).

El paso en rojo no es cierto en general.

Si así fuese, con un razonamiento análogo tendríamos que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)=1 \) y entonces según tu argumento:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}a_n^n=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}1^n=1 \)

Pero en realidad en ese caso no es así. Sabemos que:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=e \)

Puedes razonar así. Dado que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{a_n}=\displaystyle\frac{1}{2} \), para \( n\geq n_0 \) se tiene que:

\( \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}\leq a_n\leq \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4} \)

Por tanto:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{1}{4^n}\leq \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}a_n^n\leq \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{1}{(4/3)^n} \)

y usar el teorema del Sandwhich para probar que el límite es cero.

Saludos.