Hola, Marcos.
El momento lineal es la cantidad de movimiento sobre una recta, masa por velocidad. Es útil para estudiar la mecánica de fluidos, choques y cosas así. Si consideras la variación de la cantidad de movimiento en un instante muy pequeño, entonces es \( \Delta p=m_{i}v_{i}-m_{f}v_{f}
\); aquí está entrando el tiempo “f-i”, como es lógico.
Ahora fíjate en que la aceleración es la variación de la velocidad con el tiempo (el tiempo partido de la velocidad); entonces, antes de integrales y tal, tú siempre busca las unidades físicas: si dividimos \( mv
\) del tiempo... ¿de qué otra forma puedes expresar las unidades? pues sería unidad de fuerza \( \dfrac{mv}{t}=ma=f
\). Y esto también es \( \dfrac{mv}{t}=\dfrac{p}{t}
\); eso tiene unidad de lo que se llama impulso.
Por tanto, la variación de p con el tiempo supone la integral \( {\displaystyle \int_{t_{i}}^{t_{f}}F(t)dt}
\); el impulso (meto el tiempo en el ajo porque sin el tiempo las cosas no se visualizan bien del todo).
Por otra parte, cuando se estudia un sistema, se considera la masa como una cantidad de partículas; las cuales, a veces pueden moverse de manera más o menos caótica. Por ejemplo, piensa en un fluido o un gas. Hay partículas que van en una dirección, otras en otra dirección... y no sólo eso, sino que van con distintas velocidades. Entonces la cantidad de movimiento de esa masa, sumando la cantidad de movimiento la masa de cada una de sus partículas, será un lío como éste
\( P=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}+m_{3}v_{3}...m_{n}v_{n}
\) (en este caso el momento con P mayúscula para indicar que es la suma de muchas masitas pequeñas por velocidad).
Cómo sería imposible calcular el momento de todas las partículas, tomamos una partícula digamos “típica” que represente a las otras por término medio; entonces hacemos
\( P=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}+m_{3}v_{3}...m_{n}v_{n}=Mv
\) (la M también con mayúscula porque representa la suma de todas las “m”; la velocidad sin mayúscula para no confundirla con el Volumen).
A la vez, aunque la masa pueda ser más o menos amorfa, podemos considerar que tiene un centro (por término medio de las distancias entre partículas) y nuestra partícula “típica” tendrá un radio “r” respecto de ese centro; de modo que podemos expresar la velocidad en función de ese radio que nos habla de la posición del centro de la masa.
Eso es, expresando la velocidad como derivada, \( M\dfrac{dr}{dt}
\); es decir, sustituyendo en lo de antes
\( P=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}+m_{3}v_{3}...m_{n}v_{n}=m_{1}\dfrac{dr_{1}}{dt}...etc.=M\dfrac{dr_{cm}}{dt}
\)
Donde “cm” hace referencia a ese centro de la masa; también, a la velocidad del centro de masa se le pone subíndice “cm” y, si se deriva la velocidad, se tiene la aceleración respecto del centro de masa. El centro de masa, en un sólido, podría ser más o menos parecido al centro de gravedad.
Siempre tienes que pensar que, en física, cuando se habla del movimiento de una masa, esa masa no es siempre una bola de acero o un cohete algo sólido, puede ser desde un trozo de gelatina hasta una bolsa de gas.
Saludos.
