[galgarabel]

Buenas tardes,

Después de mucho indagar por foros y libros de álgebra, no he conseguido entender cómo resolver este ejercicio:


Sean E, F y G tres espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo.

a) Sean f y g aplicaciones lineales \(  f: E\longrightarrow{F}\;\;\;\; y\;\;\;\; g: F \longrightarrow{G}  \). Demostrar que \(  Nuc\;(g \;o\; f) = f^{-1}[Nuc\; g\cap{Im f}]  \).

b) Sea h una aplicación lineal de E en F. Considerando el espacio vectorial producto \(  E  \) x \(  F \), demostar que la aplicación g, donde \(  g(u,v) = (u,\;v\;-\;f(u)),\;u\in{E}\;\;y\;\;v \in{F} \) es un endomorfismo de \(  E  \) x \(  F \). Estudiar si es automorfismo.

¿Alguna idea de cómo hacer las demostraciones?

Gracias de antemano.

[Masacroso]

Buenas tardes,

Después de mucho indagar por foros y libros de álgebra, no he conseguido entender cómo resolver este ejercicio:


Sean E, F y G tres espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo.

a) Sean f y g aplicaciones lineales \(  f: E\longrightarrow{F}\;\;\;\; y\;\;\;\; g: F \longrightarrow{G}  \). Demostrar que \(  Nuc\;(g \;o\; f) = f^{-1}[Nuc\; g\cap{Im f}]  \).

b) Sea h una aplicación lineal de E en F. Considerando el espacio vectorial producto \(  E  \) x \(  F \), demostar que la aplicación g, donde \(  g(u,v) = (u,\;v\;-\;f(u)),\;u\in{E}\;\;y\;\;v \in{F} \) es un endomorfismo de \(  E  \) x \(  F \). Estudiar si es automorfismo.

¿Alguna idea de cómo hacer las demostraciones?

Gracias de antemano.

Para la parte a) primero observa que \( f^{-1}[\operatorname{núc}(g)\cap \operatorname{img}(f)]=f^{-1}[\operatorname{núc}(g)] \). Luego te basta con demostrar que \( \operatorname{núc}(g\circ f)\subset f^{-1}[\operatorname{núc}(g)] \) primero, y luego que \( \operatorname{núc}(g\circ f)\supset f^{-1}[\operatorname{núc}(g)] \). Lo último es inmediato de las definiciones, y para probar lo primero es suficiente con ver que si \( x\notin f^{-1}[\operatorname{núc}(g)] \) entonces es imposible que \( x\in \operatorname{núc}(g\circ f) \) (demostración por contraposición).

Para la parte b) debes demostrar primero que la función dada es lineal y que su imagen está contenida en \( E\times F \). No tiene mucho misterio, es bastante mecánico y directo. Para que \( g \) fuese un automorfismo debería ser invertible, es decir, inyectivo y sobreyectivo, pero \( g \) no puede ser sobreyectivo ya que \( h \) es una función (exceptuamos el caso de que \( F=\{0\} \)).

CORRECCIÓN: había equivocado la demostración de la segunda parte de a), pero el error ya está subsanado.