[galgarabel]

Buenas tardes,

Después de mucho intentar este ejercicio, no me termina de salir y ni siquiera sé si los pasos que he seguido son los adecuados. El enunciado dice:


Comprobar que en el espacio vectorial \(  P_n^\mathbb{R}\left [ t \right ]   \), el siguiente subconjunto es una base.

a) \(  \left\{{\displaystyle\frac{1}{k!}(t-a)^k, a\in{\mathbb{R} / k = 0,1,2,...,n}}\right\}  \)

b) \(  \left\{{B_{n,k}(t) = \displaystyle\binom{n}{k}t^k(1-t)^k / k = 0,1,2,...,n}\right\}  \)

c) Calcular las coordenadas de cualquier \(  p(t) \in{\mathbb{R}}  \) en la base del apartado (a).


Muchas gracias de antemano.

[Masacroso]

Simplemente observa que polinomios de grado diferente son linealmente independientes. En el apartado b) parece que hay algo mal ya que tomando \( k=n \) el polinomio \( t^n(1-t)^n \) es de grado \( 2n \) y por tanto no pertenece a \( P_n^{\Bbb R }[t] \).

[galgarabel]

A esa conclusión llegué y me pareció extraño, ya que el enunciado daba por supuesto que era una base. ¿Podría tratarse de una base de polinomios de Bernstein de grado n?

En cuanto al apartado c), ¿se os ocurre algún método para calcularlo?

Saludos.

[Masacroso]

A esa conclusión llegué y me pareció extraño, ya que el enunciado daba por supuesto que era una base. ¿Podría tratarse de una base de polinomios de Bernstein de grado n?

No es un polinomio de Bernstein, el polinomio de Bernstein es igual sólo que el exponente del factor \( (1-t) \) es \( n-t \) en vez de \( t \). Por eso tienes una errata ahí, ya que los polinomios de Bernstein sí que son independientes entre sí. Pero ahora mismo no sabría decirte cómo demostrarlo, no recuerdo si eran ortogonales en el espacio de producto interior dado por \( \langle p,q \rangle:=\int_0^1 p(x)\bar q(x) \,\mathrm d x  \), si fuese así entonces serían automáticamente linealmente independientes.

Para lo segundo que preguntas lo que es fácil es definir el cambio de base de la base especial que sea, del apartado a) o b), a la base estándar \( 1,x,x^2,\ldots x^n \), ya que es simplemente ver cómo se transforman los coeficientes de un polinomio en una base expandiendo los polinomios de tal base. Sin embargo no tengo muy claro cómo hallar el cambio de base en el otro sentido (la matriz inversa de la matriz de cambio de base previamente hallada).

CORRECCIÓN: no son ortogonales con el producto interior dado.

[Luis Fuentes]

Hola

b) \(  \left\{{B_{n,k}(t) = \displaystyle\binom{n}{k}t^k\color{red}(1-t)^k\color{black} / k = 0,1,2,...,n}\right\}  \)

Como dice Masacroso debe de haber una errata y probablemente sea:

\(  \left\{{B_{n,k}(t) = \displaystyle\binom{n}{k}t^k\color{red}(1-t)^{n-k}\color{black} / k = 0,1,2,...,n}\right\}  \)

Para ver que son independientes fíjate en que el término de menor grado de \( B_{n_k}(t) \) es de grado \( k \). Por tanto si expresas tales polinomios en la base canónica \( \{1,x,x^2,\ldots,x^n\} \) formando una matriz con sus coordenadas, ésta es triangular con  elementos no nulos en la diagonal. Tiene por tanto trivialmente rango máximo y así sus filas y por tanto los vectores que representan son independientes.

c) Calcular las coordenadas de cualquier \(  p(t) \in{\mathbb{R}}  \) en la base del apartado (a).

Tales coordenadas \( (a_0,a_1,\dots,a_n) \) son las que te permiten expresar el polinomio como:

\( p(t)=a_0+\dfrac{a_1(t-a)^1}{1!}+\dfrac{a_2(t-a)^2}{2!}+\ldots+\dfrac{a_n(t-a)^n}{n!} \) (*)

Es decir...¡cómo polinomio de Taylor centrado en \( a \)!. Así que demuestra que:

\( a_k=p^{k)}(a) \)

Sale inmediatamente sustituyendo en (*) en el polinomio y sus sucesivas derivadas \( t=a \).

Saludos.