[galgarabel]

Buenas tardes,

Estaba haciendo ejercicios con subespacios y no sé cómo demostrar que un subconjunto definido por un polinomio es un subespacio vectorial. El ejercicio dice:


Sea \(  P_2^\mathbb{R}\left [ x \right ]   \) el espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual que 2. Para cada \(  r \in{\mathbb{R}} \) definimos \(  S_r = \left\{{p\left ( x \right ) \in{\mathbb{P_2^\mathbb{R}\left [ x \right ]}} / p\left ( r \right ) = 0}\right\}  \).

Demuestra que cada \(  S_r  \) es un subespacio y exprésalo en ecuaciones cartesianas usando la base \(  \left\{{1,x,x^2}\right\}  \) de \(  P_2^\mathbb{R}\left [ x \right ]   \).


Muchas gracias de antemano.

[Fernando Revilla]

Sea \(  P_2^\mathbb{R}\left [ x \right ]   \) el espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual que 2. Para cada \(  r \in{\mathbb{R}} \) definimos \(  S_r = \left\{{p\left ( x \right ) \in{\mathbb{P_2^\mathbb{R}\left [ x \right ]}} / p\left ( x \right ) = 0}\right\}  \). Demuestra que cada \(  S_r  \) es un subespacio y exprésalo en ecuaciones cartesianas usando la base \(  \left\{{1,x,x^2}\right\}  \) de \(  P_2^\mathbb{R}\left [ x \right ]   \).

Según está redactado, \( S_r=\left\{{0}\right\} \) para todo \( r\in\mathbb{R} \) que trivialmente es subespacio de ecuaciones cartesianas \( x_1=x_2=x_3=0 \) para toda base de \(  P_2^\mathbb{R}\left [ x \right ]   \).

[galgarabel]

Error mío, estaba mal redactado. Ya lo he actualizado. Había puesto una x donde iba una r en la expresión del subconjunto \(  S_r  \).

¿Cómo se podría demostrar ahora?

Porque si \(  p\left ( r \right )  = 0 \), eso implicaría que \(  p\left ( r \right )  = a + bx + cx^2  \), por lo que habría un término independiente que impediría que se anulara la ecuación, ¿no?

[Luis Fuentes]

Hola

Error mío, estaba mal redactado. Ya lo he actualizado. Había puesto una x donde iba una r en la expresión del subconjunto \(  S_r  \).

¿Cómo se podría demostrar ahora?

Porque si \(  p\left ( r \right )  = 0 \), eso implicaría que \(  p\left ( r \right )  = a + bx + cx^2  \), por lo que habría un término independiente que impediría que se anulara la ecuación, ¿no?

Para ver que es subespacio tienes que probar dos cosas:

1) Que el vector cero, es decir, que el polinomio constante \( p_0(x)=0 \) nulo está en \( S_r  \) (¡compruébalo!, es inmediato).

2) Si \( p(x),q(x)\in S_r \), \( a,b\in \Bbb R \) entonces \( ap(x)+bq(x)\in S_r \): es también muy inmediato.

En cuanto a identificar sus ecuaciones tienes que un polinomio \( p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2 \) tiene coordenadas en la base \( C=\{1,x,x^2\} \), \( p(x)\equiv (a_0,a_1,a_2)_C \).

Ahora.

\( p(x)\in S_r\quad \Leftrightarrow{}\quad p(r)=0\quad \Leftrightarrow{}\quad  a_0+a_1r+a_2r^2=0 \)

De forma que \( a_0+r\cdot a_1+r^2\cdot a_2=0 \) es la ecuación implícita de \( S_r \) con respecto a la base canónica.

Saludos.