Autor Tema: Intento UTF3 por contradicción

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24 Noviembre, 2019, 08:17 pm
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Fernando Moreno

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Hola,

Supongo que:  \( x^3+y^3+z^3=0 \) ;  para  \( x,y,z \)  enteros usuales, coprimos 2 a 2 y uno de ellos par.

Sabemos que  \( 3 \) ,  que es un primo de Sophie Germain, debe dividir a una de estas varibles  (\( x,y,z \)) .  Supongamos que  \( z^3 \)  no es múltiplo de 3. Entonces:  \( -z^3=x^3+y^3\,=\,(x+y)(x+\omega y)(x+\omega^2 y) \) ,  para  \( \omega=\dfrac{-1+\sqrt{-3}}{2} \) .  Y :  " \( x+\omega y \) " ,  por ejemplo, será un cubo en  \( \mathbb{Z}[\omega] \)  tal que:  \( \epsilon(p+\omega q)^3=x+\omega y \) ;  para  \( \epsilon \)  una "unidad" -y-  \( p,q \)  enteros y coprimos. Las unidades en  \( \mathbb{Z}[\omega] \)  son:  \( \pm 1 \)  ,  \( \pm\omega \)  \( \wedge \)  \( \pm\omega^2 \) . 

Lema 1:  Dado:  \( x^3+y^3+z^3=0 \) ,  para  \( x,y,z \)  enteros.  \( 3 \)  solamente divide a la variable que es par.

Demostración:

Caso 1. Las unidades son:  \( \pm 1 \) .

\( \pmb{x+\omega y}=\pm\,(p+\omega q)^3\,=\,\pm\,(p^3+\omega 3p^2 q+\omega^2 3p q^2+\omega^3 q^3)\,=\,\pm\,(p^3+q^3+(3p^2q-3pq^2)\omega-3pq^2)\,=\,\pm\,(p^3+q^3-3pq^2+3pq(p-q)\omega) \)   \( \Rightarrow \)   \( x=\pm\,(p^3+q^3-3pq^2) \)   \( \wedge \)   \( y=\pm\,(3pq (p-q)) \) .

Caso 2. Las unidades son:  \( \pm\omega \) .

\( \pmb{x+\omega y}=\pm\omega\,(p+\omega q)^3\,=\,\pm\omega\,(p^3+\omega 3p^2 q+\omega^2 3p q^2+\omega^3 q^3)\,=\,\pm\omega\,(p^3+q^3-3pq^2+3pq(p-q)\omega) \) .  Si ahora divido a ambos lados de la igualdad entre  \( \omega \) .  Tendré:  \( x\omega^2+y=-x\omega+y-x\,=\,\pm\,(p^3+q^3-3pq^2+3pq(p-q)\omega) \)   \( \Rightarrow \)   \( y-x=\pm\,(p^3+q^3-3pq^2) \)   \( \wedge \)   \( -x=\pm\,(3pq(p-q)) \) .

Caso 3: Las unidades son:  \( \pm\omega^2 \) .

\( \pmb{x+\omega y}=\pm\omega^2\,(p+\omega q)^3\,=\,\pm\omega^2\,(p^3+\omega 3p^2 q+\omega^2 3p q^2+\omega^3 q^3)\,=\,\pm\omega^2\,(p^3+q^3-3pq^2+3pq(p-q)\omega) \) .  Y si ahora divido a ambos lados de la igualdad entre  \( \omega^2 \) .  Tendré:  \( x\omega+y\omega^2=(x-y)\omega-y\,=\,\pm\,(p^3+q^3-3pq^2+3pq(p-q)\omega) \)   \( \Rightarrow \)   \( -y=\pm\,(p^3+q^3-3pq^2) \)   \( \wedge \)   \( x-y=\pm\,(3pq(p-q)) \) .


En el Caso 1,  " \( 3 \) "  divide á  " \( y \) "  -y-  " \( y \) "  es par puesto que  \( p \)  ó  \( q \)  debe ser par; o si son los dos impares, es par:  \( p-q \) .

En el Caso 2,  " \( 3 \) "  divide á  " \( x \) "  -y-  " \( x \) "  es par puesto que  \( p \)  ó  \( q \)  debe ser par; o si son los dos impares, es par:  \( p-q \) .

El Caso 3  no podría darse. Pues si  \( x-y \)  es múltiplo de 2 y 3, significa que no lo son ni  " \( x \) " ,  ni  " \( y \) "  -y-  tampoco  " \( z \) " ;  puesto que no podría serlo:  \( x+y \) .


Partamos ahora de:  \( -z^3=x^3+y^3 \) . Y supongamos, sin perder generalidad, que la variable par es  " \( x \) " .  Entonces  \( 27 \) ,  como mínimo, debe dividir á  \( x^3 \) .

Como:  \( x+y=2s \)  \( \wedge \)  \( x-y=2t \) ;  pues  \( x\,\wedge\,y \)  son impares. Y :  \( x+y \)  \( \wedge \)  \( x-y \)  son coprimos salvo por  " \( 2 \) " ;  entonces:  \( s=\dfrac{x+y}{2} \)  \( \wedge \)  \( t=\dfrac{x-y}{2} \)  serán coprimos; siendo además una de las dos:  \( s\,\vee\,t \) ,  divisible entre 2. Pues si  \( 2s\,\vee\,2t \)  es congruente con 2 Módulo 4, el otro será congruente con 0 Módulo 4. Si despejo  " \( x \) "  e  " \( y \) " ,  tendré que:  \( x=s+t \)  \( \wedge \)  \( y=s-t \) .  Y de esta manera:  \( -z^3=(s+t)^3+(s-t)^3 \)   \( \Rightarrow \)   \( -z^3=2s(s^2+3t^2) \) .

Como  \( 3 \)  no divide á  " \( s \) "  entonces  " \( 2s \) "  \( \wedge \)  " \( s^2+3t^2 \) "  serán coprimos y terceras potencias. De esta manera:  \( s^2+3t^2=(s+\sqrt{-3}t)(s-\sqrt{-3}t) \) .  Y si sumo:  \( s+\sqrt{-3}t\,\pmb{+}\,s-\sqrt{-3}t=2s \) ;  -y- resto: \( s+\sqrt{-3}t\,\pmb{-}\,s+\sqrt{-3}t=2\sqrt{-3} \) .  Nos damos cuenta que  " \( 2s \) "  \( \wedge \)  " \( 2\sqrt{-3} \) "  son coprimos en  \( \mathbb{Z}[\omega] \)  salvo por  \( 2 \) ;  que es un primo en este anillo especial de enteros. Pero  " \( 4 \) "  no divide á  \( s^2+3t^2 \) ,  que es impar. Luego este factor no lo tienen -y-  " \( s+\sqrt{-3}t \) "  \( \wedge \)  " \( s-\sqrt{-3}t \) "  serán coprimos y terceras potencias en  \( \mathbb{Z}[\omega] \) .  Como  " \( 3 \) "  en este anillo es:  \( -\omega^2\lambda^2 \) ,  para:  \( ”\lambda"=\omega-1 \)  -y- éste último es primo en  \( \mathbb{Z}[\omega] \) .  Entonces tendré que:  \( s+\sqrt{-3}t=s+\omega\lambda t \)  \( \wedge \)  \( s-\sqrt{-3}t=s-\omega\lambda t \) .  Esto es, tendremos:  \( s+\omega\lambda t+s-\omega\lambda t=2s \)   \( \wedge \)   \( "s+\omega\lambda t"+"s-\omega\lambda t”-"2s"=0 \) .  Donde:  " \( s+\omega\lambda t \) " , " \( s-\omega\lambda t \) "  \( \wedge \)  " \( -2s \) "  son cubos perfectos, como hemos visto, en  \( \mathbb{Z}[\omega] \) . 

Lema 2:  Si  " \( \lambda \) "  no divide a un entero de Eisenstein que es un cubo perfecto; entonces es congruente con  \( \pm 1 \)  Módulo 9 .

Demostración:

Me basaré en cómo lo hace Carlos Ivorra aquí.

Supongamos que  \( \lambda \)  no divide a un entero de Eisenstein de la forma  \( a+\omega b \) ,  para  \( a,b \)  enteros. Módulo 3, será el resultado de reducir  \( a,b \)  módulo 3. Y tendré:  \( 1+\omega \)  ,  \( -1-\omega \)  ,  \( 1-\omega \)  ,  \( -1+\omega \)  ,  \( \pm 1 \)  ,  \( \pm\omega \)  \( \wedge \)  \( 0 \) .  Como hemos dicho que  \( \lambda \)  no divide á  \( a+\omega b \) ,  no será congruente con:  \( 1-\omega \)  ,  \( -1+\omega \)  \( \wedge \)  \( 0 \) .  Y lo que me queda ya entonces son "unidades", pues:  \( 1+\omega=-\omega^2 \)  \( \wedge \)  \( -1-\omega=\omega^2 \) .  Luego tenemos que:  \( a+\omega b\equiv\,\epsilon\,\,mod\,\,3 \) .  Pero esto es lo mismo que decir que:  \( a+\omega b-\epsilon=3\alpha \) ,  para  \( \alpha \)  un entero de Eisenstein. Por lo tanto:  \( a+\omega b=3\alpha+\epsilon \)   \( \wedge \)   \( (a+\omega b)^3=(3\alpha+\epsilon)^3\,=\,27\alpha^3+27\alpha^2\epsilon+9\alpha\epsilon^2+\epsilon^3 \) .  Por lo que:  \( (a+\omega b)^3\equiv\,\epsilon^3\,\,mod\,\,9 \)   \( \wedge \)   " \( \epsilon^3 \) "  es siempre igual á  \( \pm 1 \) , sea cuál sea la unidad de  \( \mathbb{Z}[\omega] \) .

Pero como  " \( \lambda \) "  no divide á  " \( s+\omega\lambda t \) "  ni á  " \( s-\omega\lambda t \) "  ni á  " \( 2s \) " ;  puesto que  " \( 3 \) "  no divide á  " \( s \) “  y todos son terceras potencias. Entonces tendremos que, Módulo 9:  \( "s+\omega\lambda t"+"s-\omega\lambda t”-"2s"=0 \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm 1\pm 1\pm 1\not\equiv\,0\,\,mod\,9 \) .  Lo que es una contradicción.


Un saludo,
An expert is a man who has made all the mistakes, which can be made, in a very narrow field. Niels Bohr

25 Noviembre, 2019, 10:27 pm
Respuesta #1

Fernando Moreno

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Hola,

Pues la anterior demostración va a ser que no. Me acabo de dar cuenta de que si tengo:  \( -z^3=2s(s^2+3t^2) \) .  Entonces  " \( 2 \) "  divide á  " \( z \) " .  Luego  " \( z \) "  es par y múltiplo de  \( 3 \) . 

¡Qué pena!  Intentaré arreglarlo pero me parece que no va a ser posible

 ..Claro, es que ni  \( x+y=2s \)  ni  \( x-y=2t \)  etc.  jaja  Esto parece un error de corta y pega (de otra demostración) que ha hecho mi mente  ;D
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