Hola
Hola, tengo el siguiente ejercicio e intenté una demostración pero mi profesor dice que está mal y no dice porqué ¿Podrían ayudarme?
Sea \( x \) real mayor que 0 y \( k\geq{2} \) sea \( a_0 \) el mayor entero tal que \( a_0\leq{x} \) supuestos definidos \( a_1,...,a_{n-1} \) sea \( a_n \) el mayor entero tal que
\( a_0+\displaystyle\frac{a_1}{k}+...+\displaystyle\frac{a_n}{k^{n}}\leq{x} \) probar que
\( 0\leq{a_i}\leq{k-1} \) para \( i=1,2,3...,n \)
Es que el enunciado está redactado de manera, como mínimo confusa y yo aun diría que errónea. La definición de los \( a_i \) debe de ser recursiva (ahora preciso como). Tal como está escrito se podría entender que este ejemplo se adapta a las premisas y el resultado sería falso.
\( x=1.5 \), \( k=2 \) y \( n=2 \). Entonces \( a_0=1 \). Tomando \( a_1=0 \), el mayor entero tal que:
\( x=1.5\geq a_0+\dfrac{a_1}{k}+\dfrac{a_2}{k^2}=1+0+\dfrac{a_2}{2^2} \)
es \( a_2=4>1=2-1=k-1 \).
Mi intento de prueba:
Supongamos lo contrario.
Que \( a_i>k-1 \) entonces \( a_i\geq{k} \) tendríamos entonces que: \( a_0+\displaystyle\frac{a_1}{k}+...+\displaystyle\frac{a_n}{k^{n}}\geq{a_0+1+\displaystyle\frac{1}{k}+\displaystyle\frac{1}{k^{n-1}}}\geq{a_0+1}>x \) lo que es una contradicción.
¿Por qué estaría mal mi demostración?
Independientemente de la mala o confusa redacción del enunciado lo que está mal ahí es que tu argumento sólo es válido para \( i=1 \). Nada impediría con esa argumento que \( a_2>k \) porque sólo sabrías que \( \dfrac{a_2}{k^2}>\dfrac{1}{k} \) que puede ser igualmente menor que \( 1 \).
Vuelvo al enunciado. Debería de decir algo así:
Sea \( x \) real mayor que 0 y \( k\geq{2} \) sea \( a_0 \) el mayor entero tal que \( a_0\leq{x} \). Sean \( a_1,\ldots,a_n \) tales que para cada \( m \) con \( 1\leq m\leq n \), \( a_m \) es el mayor entero cumpliendo:
\( a_0+\dfrac{a_1}{k^1}+\ldots+\dfrac{a_m}{k^m}\leq x \)
Probar entonces que \( 0\leq a_i\leq k-1 \).
Lo puedes hacer por inducción:
- Para \( n=1 \), tienes que \( a_1 \) es el mayor entero tal que:
\( a_0+\dfrac{a_1}{k}\leq x \)
Como \( a_0+\dfrac{0}{k}\leq x \) necesariamente \( a_1\geq 0 \).
Si \( a_1\geq k \) tendríamos que \( x\geq a_0+\dfrac{a_1}{k}\geq a_0+1 \), luego \( a_0 \) no sería el mayor entero menor o igual que \( a \).
- Supón cierto para \( n-1 \) y pruébalo para \( n \). Tenemos que demostrar que \( 0\leq a_n\leq k-1 \).
Como por hipótesis \( a_0+\dfrac{a_1}{k}+\ldots+\dfrac{a_{n-1}}{k^{n-1}}+\dfrac{0}{k^n}\leq x_0 \), necesariamente \( a_1\geq 0 \).
Si \( a_n\geq k \) entonces tendríamos:
\( x\geq a_0+\dfrac{a_1}{k}+\ldots+\dfrac{a_{n-1}}{k^{n-1}}+\dfrac{a_n}{k^n}\geq a_0+\dfrac{a_1}{k}+\ldots+\dfrac{a_{n-1}}{k^{n-1}}+\dfrac{1}{k^{n-1}}=a_0+\dfrac{a_1}{k}+\ldots+\dfrac{a_{n-1}+1}{k^{n-1}} \)
y por tanto \( a_{n-1} \) no sería el mayor entero tal que \( a_0+\dfrac{a_1}{k}+\ldots+\dfrac{a_{n-1}}{k^{n-1}}\leq x_0 \).
Saludos.
