Autor Tema: Problema de combinatoria.

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20 Noviembre, 2019, 04:26 pm
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FrancoMonse

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En una heladería venden 7 tipos de helados. ¿De cuantas formas se puede hacer un pedido de: (i) 12 helados; (ii) 12 helados pero con al menos uno de cada tipo? :banghead:

20 Noviembre, 2019, 04:43 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

En una heladería venden 7 tipos de helados. ¿De cuantas formas se puede hacer un pedido de: (i) 12 helados; (ii) 12 helados pero con al menos uno de cada tipo? :banghead:

(i) Se trata de las formas de escoger \( 12 \) elementos en un total de \( 7 \) tipos, pudiendo repetir y sin importar el orden. Son combinaciones sin repetición de \( 7 \) tipos de elementos tomados de \( 12 \) en \( 12. \) O lo que es lo mismo el número de soluciones enteras no negativas de:

\( x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7=12 \)

donde cada \( x_i \) sería el número de helados de tipo \( i \)que se toman:

\( CR_{7,12}=\displaystyle\binom{7+12-1}{12}=\displaystyle\binom{18}{12}=\displaystyle\binom{18}{6} \)

(ii) Si al menos hay uno de cada tipo, entonces \( 7 \) de los \( 12 \) helados están prefijados. Contamos las formas de elegir los \( 12-7=5  \)restantes:

\( CR_{7,5}=\displaystyle\binom{7+5-1}{5}=\displaystyle\binom{11}{5} \)

Saludos.

20 Noviembre, 2019, 08:05 pm
Respuesta #2

FrancoMonse

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20 Noviembre, 2019, 10:34 pm
Respuesta #3

Richard R Richard

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Hola Luis , Buenas tardes, estoy tratando por las mias de arribar al mismo resultado que tu, obviamente no lo he logrado y no quiero robarte más tiempo que un par de indicaciones, no gastes el tiempo en desarrollar nada, si llego al resultado lo haré yo, solo para ver si el óxido de mis neuronas, se pule, o está todo corroído por el tiempo.

Hola

En una heladería venden 7 tipos de helados. ¿De cuantas formas se puede hacer un pedido de: (i) 12 helados; (ii) 12 helados pero con al menos uno de cada tipo? :banghead:

(i) Se trata de las formas de escoger \( 12 \) elementos en un total de \( 7 \) tipos, pudiendo repetir y sin importar el orden. Son combinaciones sin repetición de \( 7 \) tipos de elementos tomados de \( 12 \) en \( 12. \) O lo que es lo mismo el número de soluciones enteras no negativas de:

\( x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7=12 \)

donde cada \( x_i \) sería el número de helados de tipo \( i \)que se toman:

\( CR_{7,12}=\displaystyle\binom{7+12-1}{12}=\displaystyle\binom{18}{12}=\displaystyle\binom{18}{6} \)

(ii) Si al menos hay uno de cada tipo, entonces \( 7 \) de los \( 12 \) helados están prefijados. Contamos las formas de elegir los \( 12-7=5  \)restantes:

\( CR_{7,5}=\displaystyle\binom{7+5-1}{5}=\displaystyle\binom{11}{5} \)

Saludos.

Si el conjunto de tipos de helados es\(  \{A,B.C,D,E,F,G\} \) solo indicame un simple "si" vs "no" si para ti

\( \{A,B,A,A,A,A,A,A,A,A,A,A\} \) es el mismo pedido que \( \{A,A,B,A,A,A,A,A,A,A,A,A\} \)  o que \( \{B,A,A,A,A,A,A,A,A,A,A,A\} \) osea si todos ellos cuentan por un mismo pedido o son 3 pedidos diferentes...

sin son tres pedidos diferentes  yo creería que la primer respuesta era \( N=7^{12} \)

y en caso negativo bueno ya me las veré intentando descubrir  como has razonado, cuando halle la razón por las mias , ya que fácil la tengo viendo tu resultado.


pero Dios, acabo de postear, y releyendo tu cita me doy cuenta de lo que significa " O lo que es lo mismo el número de soluciones enteras no negativas de:

\( x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7=12 \)"

no he preguntado nada....
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

21 Noviembre, 2019, 08:34 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Si el conjunto de tipos de helados es\(  \{A,B.C,D,E,F,G\} \) solo indicame un simple "si" vs "no" si para ti

\( \{A,B,A,A,A,A,A,A,A,A,A,A\} \) es el mismo pedido que \( \{A,A,B,A,A,A,A,A,A,A,A,A\} \)  o que \( \{B,A,A,A,A,A,A,A,A,A,A,A\} \) osea si todos ellos cuentan por un mismo pedido o son 3 pedidos diferentes...

sin son tres pedidos diferentes  yo creería que la primer respuesta era \( N=7^{12} \)

 Si, si fuesen pedidos diferentes sería como dices. Pero como ya te has dado cuenta después, yo los considero el mismo pedido.

Me parece la interpretación más razonable (con todo lo que tiene de subjetivo) ya que un pedido (de una mismo cliente) interesa que helados de cada tipo se pidieron no si se pidió uno primero que otro.

Saludos.