[sarac]

Hola, me gustaría saber si me pueden ayudar con el siguiente ejercicio

Si \( F \) es cerrado en \(  \mathbb{R^p} \) y si:

\( d(x,F)=inf \left\{{\left\|{x-z}\right\|:z\in{F}}\right\}=0 \)

entonces \( x \) pertenece a \( F \)

espero me puedan ayudar, Gracias

[Masacroso]

Hola, me gustaría saber si me pueden ayudar con el siguiente ejercicio

Si \( F \) es cerrado en \(  \mathbb{R^p} \) y si:

\( d(x,F)=inf \left\{{\left\|{x-z}\right\|:z\in{F}}\right\}=0 \)

entonces \( x \) pertenece a \( F \)

espero me puedan ayudar, Gracias

Supón que \( x\notin F \), entonces si el ínfimo es cero existe una sucesión en \( F \) que converge a \( x \) (ya que hay puntos \( z\in F \) arbitrariamente cerca de \( x \)), entonces \( x \) es un punto límite de \( F \), y como \( F \) es cerrado entonces \( x\in F \). Contradicción.