[megasaw]

Saludos, tengo este ejercicio y no tengo idea de cómo resolverlo, dice:
En la curva \(  C: (t+1, t^2 +1, t^3)  \) encuentre el punto cuya tangente es paralela al plano \(  x+2y+z=1  \)
Cómo se resuelve?

[delmar]

Hola

La tangente a la curva C, en el punto correspondiente a t, tiene como vector director, la derivada es decir \( C'(t)=(1,2t,3t^2) \), la tangente es paralela al plano, si su vector director es perpendicular al vector normal al plano \( \vec{n}=(1,2,1) \) en consecuencia se ha de cumplir \( C'(t)\cdot{\vec{n}}=0 \)

Saludos

[Richard R Richard]

\( C'(t)\cdot{\vec{n}}=0=(1,2t,3t^2)\cdot(1,2,1)=1+4t+3t^2 \)

resolviendo la cuadrática se obtienen dos soluciones.\( t=-1  \)y \( t=-\frac 13 \)

así los dos vectores directores son

\( \vec v_1=(1,-2,3) \)

\( \vec v_2=(1,-\frac23,\frac13) \)

los puntos donde la tangente es paralela al plano son

\( C(t=-1)=(t+1,t^2+1,t^3)=(-1+1,(-1)^2+1,(-1)^3)=(0,2,-1) \)

\( C(t=-\frac 13)=(t+1,t^2+1,t^3)=(-\frac 13+1,(-\frac 13)^2+1,(-\frac 13)^3)=(\frac 23,\frac {10}9,-\frac 1{27}) \)


cuyas rectas son

\( (x,y,z)=(0,2,-1)+\alpha(1,-2,3)\quad\Longrightarrow{\quad}\alpha=\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z+1}{3} \)

\( (x,y,z)=(\frac 23,\frac {10}9,-\frac 1{27})+\beta(1,-\frac23,\frac13)\quad\Longrightarrow{\quad}\beta=\dfrac{x-\frac 23}{1}=\dfrac{y-\frac {10}9}{-\frac23}=\dfrac{z+\frac 1{27}}{\frac13} \)

[megasaw]

\( C'(t)\cdot{\vec{n}}=0=(1,2t,3t^2)\cdot(1,2,1)=1+4t+3t^2 \)

resolviendo la cuadrática se obtienen dos soluciones.\( t=-1  \)y \( t=-\frac 13 \)

así los dos vectores directores son

\( \vec v_1=(1,-2,3) \)

\( \vec v_2=(1,-\frac23,\frac13) \)

los puntos donde la tangente es paralela al plano son

\( C(t=-1)=(t+1,t^2+1,t^3)=(-1+1,(-1)^2+1,(-1)^3)=(0,2,-1) \)

\( C(t=-\frac 13)=(t+1,t^2+1,t^3)=(-\frac 13+1,(-\frac 13)^2+1,(-\frac 13)^3)=(\frac 23,\frac {10}9,-\frac 1{27}) \)


cuyas rectas son

\( (x,y,z)=(0,2,-1)+\alpha(1,-2,3)\quad\Longrightarrow{\quad}\alpha=\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z+1}{3} \)

\( (x,y,z)=(\frac 23,\frac {10}9,-\frac 1{27})+\beta(1,-\frac23,\frac13)\quad\Longrightarrow{\quad}\beta=\dfrac{x-\frac 23}{1}=\dfrac{y-\frac {10}9}{-\frac23}=\dfrac{z+\frac 1{27}}{\frac13} \)

Míl gracias.