Autor Tema: Problema sobre elipse

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12 Noviembre, 2019, 03:38 pm
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Francois

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Problema
Considere la elipse \( \mathcal{E}:2x^2+\sqrt[ ]{3}xy+\alpha y^2-10=0 \)
con vértices en los puntos \( V_{1}=(-\sqrt{5};\sqrt{15}) \) y \( V_{2}=(\sqrt{5};-\sqrt{15}) \)

Aquí la pregunta consiste en hallar el valor de \( \alpha \).
Entiendo que por el término \( \sqrt[ ]{3}xy \) debo hacer una rotación de ejes y usar las ecuaciones de rotación.
Cuando deseo calcular el ángulo de rotación \( Tan(2\theta)=\displaystyle\frac{B}{A-C} \)

Entonces \( Tan(2\theta)=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2-\alpha} \), luego deseo suponer que \( \alpha=1 \), pero
esto se que es incorrecto, solo lo hice para que sea ángulo notable.

De esta manera tengo las ecuaciones de rotación  \( x=\displaystyle\frac{1}{2}(\sqrt[ ]{3}u-v) \); \( y=\displaystyle\frac{1}{2}(\sqrt[ ]{3}v+u) \)



La pregunta es, ¿cómo obtener el valor correcto de la letra \( \alpha \), sin hacer esa suposición?


Gracias por la ayuda.
Saludos.

12 Noviembre, 2019, 04:32 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

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Problema
Considere la elipse \( \mathcal{E}:2x^2+\sqrt[ ]{3}xy+\alpha y^2-10=0 \)
con vértices en los puntos \( V_{1}=(-\sqrt{5};\sqrt{15}) \) y \( V_{2}=(\sqrt{5};-\sqrt{15}) \)

Aquí la pregunta consiste en hallar el valor de \( \alpha \).
Entiendo que por el término \( \sqrt[ ]{3}xy \) debo hacer una rotación de ejes y usar las ecuaciones de rotación.
Cuando deseo calcular el ángulo de rotación \( Tan(2\theta)=\displaystyle\frac{B}{A-C} \)

Entonces \( Tan(2\theta)=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2-\alpha} \), luego deseo suponer que \( \alpha=1 \), pero
esto se que es incorrecto, solo lo hice para que sea ángulo notable.

Pero es tan sencillo como usar que los vértices son puntos que pertencen a la elipse y por tanto satisfacen su ecuación. Así debe de cumplirse:

\( 2(\sqrt{5})^2+\sqrt{3}(\sqrt{5})(-\sqrt{15})+\alpha(-\sqrt{15})^2-10=0 \)

De donde \( \alpha=1 \).

Saludos.

15 Noviembre, 2019, 01:41 pm
Respuesta #2

Francois

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Muchas gracias Luis  Fuentes.

Saludos!