[manooooh]

Hola!!

Se define en \(A=\{n\in\Bbb{Z}\mid1\leq n\leq8\}\) la siguiente relación \(\mathcal{R}\): \[x\mathcal{R}y\iff(x\leq y\wedge\text{\(x+y\) es par})\vee(\text{\(x\) es impar e \(y\) es par}).\]
a) Probar que \( \mathcal{R} \) es una relación de orden total.

b) Encontrar, si es posible, un subconjunto de \(A\) que tenga supremo pero no máximo. Justificar.


Mi profesor hace lo siguiente:

Diagrama de Hasse: \[1\to3\to5\to7\to2\to4\to6\to8\] Es de orden total pues es una cadena.

No es posible hallar subconjunto con supremo y no máximo.


Yo lo veo incompleto. ¿Qué les parece a ustedes?

Mi intento:

a) Yo justificaría que es de orden total pues:

1) Es relación de orden. Hallemos la relación por extensión (por ser \( A \) finito): \[\begin{align*}\mathcal{R}&=\left\lbrace(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7),(8,8),(1,3),(1,5),(1,7),(1,2),\right.\\&(1,4),(1,6),(1,8),(2,4),(2,6),(2,8),(3,5),(3,7),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),\\&\left.(4,6),(4,8),(5,7),(5,2),(5,4),(5,6),(5,8),(6,8),(7,2),(7,4),(7,6),(7,8)\right\rbrace\end{align*}\]

- Reflexiva. Vemos que están todos los pares reflexivos.
- Antisimétrica. Es cierta ya que tiene antecedente falso, pues por ejemplo \( 1\mathcal{R}3 \) y \( 3\mathord{\not\mathrel{\mathcal{R}}}1 \). Los elementos se relacionan en un sólo sentido, permitiendo los bucles.
- Transitiva. Lo vemos por el conjunto hallado por extensión.

2) Es orden total. Puesto que dados \( x,y\in A \) tenemos que siempre \( x\preceq y \) entonces por adición \( x\preceq y\vee y\preceq x \), lo que significa precisamente la definición de orden total.

Hagamos el diagrama de Hasse para entender mejor cómo se relacionan los elementos: \[1\to3\to5\to7\to2\to4\to6\to8\]
b) No es posible hallar un subconjunto con supremo y no máximo pues la relación es de orden total. Eso quiere decir que siempre habrá un mínimo y un máximo.

b) Hallemos todos los subconjuntos de \( A \) (por ser finito): Ups, acabo de darme cuenta de que hay en total \( 2^8=256 \) subconjuntos posibles de \( A \) . No parece viable.

¿Qué opción les parece correcta y más completa?

Yo tengo dudas acerca de cómo justificar la imposibilidad de (b). ¿Podrían dar argumentos?

Gracias!!
Saludos

EDITADO

[Luis Fuentes]

Hola

 Pues no me agrada demasiado ni como lo hace el profesor ni como lo haces tu; aunque no olvides en que a la hora de juzgar cuanto hay que detallar la justificación de la respuesta a un ejercicio tiene un punto de subjetivo.

 Fíjate que la relación propuesta seguiría siendo de orden total en cualquier conjunto de enteros. Así que yo lo probaría en general (si el conjunto \( A \) en lugar de \( 8 \) elementos tuviera \( 1000 \)... detallar todos los pares sería una quimera).

 Entonces:

 - Reflexiva. Sea \( x\in \Bbb Z \).

 Dado que \( x\leq x \) y \( x+y=2x \) es par entonces \( xRy \)

 - Antisimétrica. Supongamos que \( x,y\in \Bbb Z \) y que \( xRy \) e \( yRx \).

 -- Si \( x \) es impar e \( y \) es par entonces, \( x+y \) es impar \( y \) no es cierto que \( y \) sea par, por lo que es imposible que \( yRx \). Luego esto no se da.

 -- Análogamente no puede ocurrir que \( x \) es par e \( y \) impar.

 -- Entonces como \( x \) e \( y \) tiene la misma paridad, \( x+y \) es par. Como \( xRy \) con la misma paridad se tiene que \( x\leq y \). Como \( yRx \) con la misma paridad se tiene que \( y\leq x \). Y por tanto \( x=y. \)

 - Transitiva. Supongamos que \( x,y,z\in \Bbb Z \) y que \( xRy \) e \( yRz \).

 -- Si \( x \) es impar e \( y \) es par entonces como \( yRz \) e \( y \) es par, \( y+z \) es par y \( z \) es par. Por tanto \( xRz \) ya que \( x \) es impar y \( z \) par.

 -- Si \( x\leq y \) e \( x+y \) es par hay dos opciones.

 -- Si \( x,y \) son pares entonces como \( yRz \) e \( y \) es par necesariamente \( y\leq z  \) e \( y+z \) es par. Entonces \( x\leq y\leq z \) y \( x+z=(x+y)+(y+z)-2y \) es par por ser suma y resta de pares y así \( xRz \).

 -- Si \( x,y \) son impares, como \( yRz \) o bien \( z \) es par, con lo cual automáticamente \( xRz \), o bien \( y+z \) es par e \( y\leq x \) pero entonces de nuevo \( x\leq y\leq z \) y \( x+z=(x+y)+(y+z)-2y \) es par por ser suma y resta de pares.

 - Es de orden total. Dados \( x,y\in \Bbb Z \):

 - Si \( x \) es impar e \( y \) es par, entonces \( xRy \).
 - Si \( y \) es impar y \( x \) es par, entonces \( yRx \).
 - En otro caso \( x,y \) tienen la misma paridad y por tanto \( x+y \) es par. Y además o bien \( x\leq y \), en cuyo caso \( xRy \) o bien \( y\leq x \) en cuyo caso \( yRx. \)

 Finalmente y en cuanto a máximos y supremos, se puede probar que todo conjunto finito no vacío con una relación de orden total tiene máximo.

Spoiler

Sea \( A \) de \( n \) elementos, con una relación de orden total. Para cada \( a\in A \) definimos:

\(  f(a)=cardinal\{b\in A|b\leq a\} \)

 El conjunto \( \{f(a)|a\in A\} \) es un conjunto acotado superiormente por \( n \) de números naturales y por tanto tiene máximo \( f(a_0) \). Veamos que \( f(a_0)=n \). En otro caso \( cardinal\{b\in A|b\leq a\}<n=card(A) \) y por tanto existe \( a_1\in A \) tal que \( a_1\not\leq a_0 \). Como la relación es de orden total, necesariamente \( a_0<a_1 \) y dado que si \( b\leq a_0 \) entonces \( b\leq a_0<a_1 \),

\( f(a_0)=cardinal\{b\in A|b\leq a_0\}<cardinal(b\in A|b<a_1\}=f(a_1) \)

lo cual contradice que \( f(a_0) \) sea máximo. Por tanto:

\( cardinal\{b|in A|b\leq a_0\}=n=card(A) \)

y así \( A=\{b|in A|b\leq a_0\} \) y \( a_0 \) es el máximo de \( A. \)

[cerrar]

Saludos.

P.D. Fíjate que el panorama cambia si el conjunto NO es finito. Si la misma relación la planteas en los enteros, busca un conjunto que tenga supremo pero no máximo.

CORREGIDO

[manooooh]

Hola, muchas gracias!

Yo creo que este ejercicio no pide hacerlo en forma genérica sino por extensión.

Fijate que la relación dada es bastante "compleja" como para el nivel que acostumbro a publicar; por eso se dio un conjunto finito y no infinito, para practicar el diagrama.

No entiendo la relación entre el segundo párrafo y la P.D. ¿Las pruebas son iguales que si \( A \) fuese finito o infinito? ¿Por qué, entiendo yo, en la P.D. hablás de "Conjunto con supremo pero no máximo" como si fuera nuevo cuando el apartado (b) es lo que propone?

Me gustaría hacerlo en forma particular pues la relación es "complicada" y además el conjunto tiene pocos elementos. Sí que es cierto que con 1000 elementos se hace imposible, pero no es el caso.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Yo creo que este ejercicio no pide hacerlo en forma genérica sino por extensión.

Pues sinceramente no se porque crees eso. Quizá en el contexto de tu asignatura, haya algún motivo. En principio es un ejercicio que se puede resolver perfectamente como te he dicho.

Fijate que la relación dada es bastante "compleja" como para el nivel que acostumbro a publicar; por eso se dio un conjunto finito y no infinito, para practicar el diagrama.

No lo es en absoluto; lo que he escrito puede ser un poco "largo", pero los razonamientos y lo que se usa es todo absolutamente elemental.

No entiendo la relación entre el segundo párrafo y la P.D. ¿Las pruebas son iguales que si \( A \) fuese finito o infinito? ¿Por qué, entiendo yo, en la P.D. hablás de "Conjunto con supremo pero no máximo" como si fuera nuevo cuando el apartado (b) es lo que propone?

Perdon, es que me equivoqué. Quise decir un conjunto NO finito. Es decir con esa relación en todos los enteros, SI existe un conjunto que tiene supremo pero no máximo y te invito a que des un ejemplo para practicar.

Me gustaría hacerlo en forma particular pues la relación es "complicada" y además el conjunto tiene pocos elementos. Sí que es cierto que con 1000 elementos se hace imposible, pero no es el caso.

Pues si quieres hacerlo de manera particular sin usar ningún argumento genérico, no te queda más remedio que como has hecho escribir todos los pares relacionados y comprobar de facto que cumple las propiedades descritas.

En el caso del conjunto con supremo y sin máximo... pues si no permites que se use ningún argumento genérico... ¡pues no quedaría más remedio que probar con todos los conjuntos!. Pero no es razonable.

Sinceramente me parece una limitación absurda obligarse a hacer este ejercicio por "fuerza bruta". Y por otra parte si finalmente quieres hacerlo así, por extensión, pues no queda otra que trabajar uno a uno todos los casos. En cuanto no lo hagas estás traicionando la propia premisa de no usar argumentos generales.

Saludos.

[manooooh]

Hola

Ahora lo tengo más claro.

No me pareció tan matador hallar por extensión la relación pero sí los subconjuntos (apartado (b)), por eso quería saber si se podía usar "artillería no tan elemental pero no tan pesada" para demostrarlo .

Yo tampoco le veo mucho sentido de tomar sólo algunos elementos. Quizás como fue sacado de un examen que incluía varios ejercicios más, para no hacerlo tan pesado pues eligieron tomar uno con pocos elementos, pero por ser examen, sino sería en forma genérica, en donde comparto tu opinión.

Cuando llegue a casa lo miro mejor. Muchas gracias, como siempre.

Saludos

[manooooh]

Hola

Me puse a ver por encima la demostración de que todo subconjunto finito de los enteros alcanza un supremo que es máximo pero no me agrada la demostración, sinceramente. Cuando me siente a leerla consultaré.

Con respecto a que dado un subconjunto de un conjunto INFINITO (que no es lo que pide el ejercicio) definimos en este último la misma relación del ejercicio, no veo claro cuál subconjunto podemos tomar.

Noto que el efecto que tiene la relación sobre un conjunto infinito es la de relacionar primero todos los números impares en orden creciente a la izquierda, y luego la de los pares a la derecha: \[1\to3\to5\to7\to\dots\to2k+1\to2\to4\to6\to\dots\to2k\] ¿Un subconjunto con supremo y no máximo es quizás \( B=\{2k,2k+1\} \)? . Ni siquiera sé si la naturaleza del subconjunto que proponés que busque es finito o infinito.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Me puse a ver por encima la demostración de que todo subconjunto finito de los enteros alcanza un supremo que es máximo pero no me agrada la demostración, sinceramente. Cuando me siente a leerla consultaré.

Bien, tu dirás. 

Con respecto a que dado un subconjunto de un conjunto INFINITO (que no es lo que pide el ejercicio) definimos en este último la misma relación del ejercicio, no veo claro cuál subconjunto podemos tomar.

Si, ya se que no es lo que pide el ejericio. Pretende ser una observación complementaria; una curiosidad.

Noto que el efecto que tiene la relación sobre un conjunto infinito es la de relacionar primero todos los números impares en orden creciente a la izquierda, y luego la de los pares a la derecha:
 \[1\to3\to5\to7\to\dots\to2k+1\to2\to4\to6\to\dots\to2k\]

Más bien la representación es:

\( 1\to 3\to 5\to \ldots \to 2k+1\to \ldots 2\to 4\to 6\to \ldots \to 2k\to \ldots \)

Es decir primero todos los impares y luego todos los pares.

¿Un subconjunto con supremo y no máximo es quizás \( B=\{2k,2k+1\} \)? . Ni siquiera sé si la naturaleza del subconjunto que proponés que busque es finito o infinito.

Tiene que ser infnito. Acabo de probar antes que si fuera finito necesariamente todo conjunto tiene máximo.

El ejemplo sería el conjunto de impares. Su supremo es \( 2 \) pero no tiene máximo.

Saludos.

[manooooh]

Hola

Ohh, tenía dudas de si poner los suspensivos al final del último par. Pero debe ser infinito así que está bien cómo lo escribiste.

Si tomamos todos los impares, ¿por qué el supremo no puede ser "el último impar" i.e. \( 2k+1 \)? Ahí sí que tendría máximo pero algo hago mal.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Ohh, tenía dudas de si poner los suspensivos al final del último par. Pero debe ser infinito así que está bien cómo lo escribiste.

Si tomamos todos los impares, ¿por qué el supremo no puede ser "el último impar" i.e. \( 2k+1 \)? Ahí sí que tendría máximo pero algo hago mal.

¿Y cuál es el "último" impar?. Estamos considerando todos los impares...

Saludos.

[manooooh]

Hola

¿Y cuál es el "último" impar?. Estamos considerando todos los impares...

Oh. Entonces no tiene "último" impar pues es un conjunto infinito (no está acotado superiormente aunque sí inferiormente, aunque esto es irrelevante para nosotros).


Para demostrar que es relación de orden hice lo siguiente:

Reflexiva: Lo mismo que vos.

Antisimétrica: Si \( xRy \) y \( yRx \) entonces \( (x\leq y\wedge\text{\(x+y\) es par})\vee(\text{\(x\) es impar e \(y\) es par}) \) y \( (y\leq x\wedge\text{\(y+x\) es par})\vee(\text{\(y\) es impar e \(x\) es par}) \).

Apliquemos distributiva, obteniendo

\begin{align*}
((x\leq y\wedge\text{\(x+y\) es par})\wedge(y\leq x\wedge\text{\(y+x\) es par}))&\vee((x\leq y\wedge\text{\(x+y\) es par})\wedge(\text{\(y\) es impar e \(x\) es par}))\\&\vee((\text{\(x\) es impar e \(y\) es par})\wedge(y\leq x\wedge\text{\(y+x\) es par}))\\&\vee((\text{\(x\) es impar e \(y\) es par})\wedge(\text{\(y\) es impar e \(x\) es par}))
\end{align*}

Vemos que las últimas tres disyunciones son una contradicción. Entonces:

\[
(x\leq y\wedge\text{\(x+y\) es par})\wedge(y\leq x\wedge\text{\(y+x\) es par})\implies x\leq y\wedge y\leq x\wedge\text{\(x+y\) es par}\implies x\leq y\wedge y\leq x\implies x=y
\]

Transitiva: Si \( xRy \) y \( yRz \) entonces:

\[\begin{cases}
&(x\leq y\wedge\text{\(x+y\) es par})\vee(\text{\(x\) es impar e \(y\) es par})\\
&(y\leq z\wedge\text{\(y+z\) es par})\vee(\text{\(y\) es impar e \(z\) es par})
\end{cases}\implies
\Bigl[(x\leq y\wedge\text{\(x+y\) es par})\vee(\text{\(x\) es impar e \(y\) es par})\Bigr]\wedge\Bigl[(y\leq z\wedge\text{\(y+z\) es par})\vee(\text{\(y\) es impar e \(z\) es par})\Bigr]\]

Volviendo a aplicar distributiva tenemos:

\begin{align*}
((x\leq y\wedge\text{\(x+y\) es par})\wedge(y\leq z\wedge\text{\(y+z\) es par}))&\vee((x\leq y\wedge\text{\(x+y\) es par})\wedge(\text{\(y\) es impar e \(z\) es par}))\\
&\vee((\text{\(x\) es impar e \(y\) es par})\wedge(y\leq z\wedge\text{\(y+z\) es par}))\\
&\vee((\text{\(x\) es impar e \(y\) es par})\wedge(\text{\(y\) es impar e \(z\) es par}))
\end{align*}

La primera disyunción es claramente \( xRz \), pero no sé cómo descartar (o convertirlas en contradicción) las otras tres disyunciones . ¿Alguna ayuda?

- Es de orden total. Dados \( x,y\in \Bbb Z \):

 - Si \( x \) es impar e \( y \) es par, entonces \( xRy \).
 - Si \( y \) es impar y \( x \) es par, entonces \( yRx \).
 - En otro caso \( x,y \) tienen la misma paridad y por tanto \( x+y \) es par. Y además o bien \( x\leq y \), en cuyo caso \( xRy \) o bien \( y\leq x \) en cuyo caso \( yRx. \)

De acuerdo. Siempre hacemos lo mínimo e indispensable, que es probar que alguno de los dos lados de la disyunción es verdadera sin tener en cuenta la otra. Para los dos primeros casos usaste el de la derecha, y para el tercer caso ("En otro caso") usaste la de la izquierda.

Muy ingenioso, Luis.


Ahora vienen mis problemas que "no me dejan dormir"...:

Finalmente y en cuanto a máximos y supremos, se puede probar que todo conjunto finito no vacío con una relación de orden total tiene máximo.

Sea \( A \) de \( n \) elementos, con una relación de orden total. Para cada \( a\in A \) definimos:

\(  f(a)=cardinal\{b\in A|b\leq a\} \)

 El conjunto \( \{f(a)|a\in A\} \) es un conjunto acotado superiormente por \( n \) de números naturales y por tanto tiene máximo \( f(a_0) \). Veamos que \( f(a_0)=n \). En otro caso \( cardinal\{b\in A|b\leq a\}<n=card(A) \) y por tanto existe \( a_1\in A \) tal que \( a_1\not\leq a_0 \). Como la relación es de orden total, necesariamente \( a_0<a_1 \) y dado que si \( b\leq a_0 \) entonces \( b\leq a_0<a_1 \),

\( f(a_0)=cardinal\{b\in A|b\leq a_0\}<cardinal(b\in A|b<a_1\}=f(a_1) \)

lo cual contradice que \( f(a_0) \) sea máximo. Por tanto:

\( cardinal\{b\in A|b\leq a_0\}=n=card(A) \)

y así \( A=\{b\in A|b\leq a_0\} \) y \( a_0 \) es el máximo de \( A. \)

De a partes:

Sea \( A \) de \( n \) elementos, con una relación de orden total.

Hasta aquí te sigo.

Para cada \( a\in A \) definimos:

\(  f(a)=cardinal\{b\in A|b\leq a\} \)

Acá ya me perdí. ¿Quién te da el derecho a elegir esa "función" y por qué? ¿No deberías probar que \( f \) es primero función para luego seguir con la demostración (por más trivial que parezca aunque no lo veo tan trivial con ojos de novato)? ¿Por qué no puedo elegir otro objeto matemático?

El conjunto \( \{f(a)|a\in A\} \) es un conjunto acotado superiormente por \( n \) de números naturales y por tanto tiene máximo \( f(a_0) \).

"De acuerdo". ¿Por qué decís "El conjunto \( \{f(a)|a\in A\} \)" en vez de "El conjunto \( \{b\in A|a\in A\} \)"?

Veamos que \( f(a_0)=n \).

¿Eso es porque querés demostrar que \( f(a_0) \) es efectivamente la menor de las cotas superiores i.e. es el máximo?

En otro caso \( cardinal\{b\in A|b\leq a\}<n=card(A) \) y por tanto existe \( a_1\in A \) tal que \( a_1\not\leq a_0 \).

Entiendo que en otro caso sea \( cardinal\{b\in A|b\leq a\}<n \) pues nunca puede ser \( >n \), pero no entiendo de dónde sale ese \( n=card(A)=|A| \).

Como la relación es de orden total, necesariamente \( a_0<a_1 \) (...)

¿Por qué \( a_0<a_1 \) y no \( a_1<a_0 \)? Yo lo interpretaría así: "necesariamente \( f(a_0)<f(a_1) \)".

Gracias y saludos