[sarac]

Hola, me podrían hacer el favor de ayudarme con el siguiente ejercicio

Demostrar que todo punto en el conjunto de Cantor \( F \). Es un punto de acumulación, tanto de \( F \) como del \( Complemento(F) \)

En realidad he intentado hacer esta demostración por medio de la definición de punto de acumulación al igual que tratando de aplicar el teorema de Bolzano - Weierstrass, el cual dice: \( " \)Cualquier conjunto acotado infinito de \( \mathbb{R^p} \) tiene un punto clausura\( " \). Por ende primero se demostraría que el conjunto de cantor es acotado, pero no sé de que manera podría iniciarla. O si en realidad no se haría de esta manera.

muchas gracias 

[Masacroso]

Hola, me podrían hacer el favor de ayudarme con el siguiente ejercicio

Demostrar que todo punto en el conjunto de Cantor \( F \). Es un punto de acumulación, tanto de \( F \) como del \( Complemento(F) \)

En realidad he intentado hacer esta demostración por medio de la definición de punto de acumulación al igual que tratando de aplicar el teorema de Bolzano - Weierstrass, el cual dice: \( " \)Cualquier conjunto acotado infinito de \( \mathbb{R^p} \) tiene un punto clausura\( " \). Por ende primero se demostraría que el conjunto de cantor es acotado, pero no sé de que manera podría iniciarla. O si en realidad no se haría de esta manera.

muchas gracias 

Todo punto del conjunto de Cantor se caracteriza por su expansión en base tres, es decir, si \( x=\sum_{k\geqslant 1}a_k 3^{-k} \) donde \( a_k\in\{0,1,2\} \) entonces \( x \) pertenece al conjunto de Cantor si y solo si todos los \( a_k \) son distintos a uno . Con eso puedes demostrar que para todo punto del conjunto de Cantor existe una sucesión, perteneciente al propio conjunto, que converge hacia ese punto.

CORREGIDO: por un momento había pensado que los números con colas de doses como \( 0,2222... \) no pertenecían al conjunto de Cantor, pero sí que pertenecen. Así que las colas de doses están permitidas.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, me podrían hacer el favor de ayudarme con el siguiente ejercicio

Demostrar que todo punto en el conjunto de Cantor \( F \). Es un punto de acumulación, tanto de \( F \) como del \( Complemento(F) \)

En realidad he intentado hacer esta demostración por medio de la definición de punto de acumulación al igual que tratando de aplicar el teorema de Bolzano - Weierstrass, el cual dice: \( " \)Cualquier conjunto acotado infinito de \( \mathbb{R^p} \) tiene un punto clausura\( " \). Por ende primero se demostraría que el conjunto de cantor es acotado, pero no sé de que manera podría iniciarla. O si en realidad no se haría de esta manera.

muchas gracias 

Todo punto del conjunto de Cantor se caracteriza por su expansión en base tres, es decir, si \( x=\sum_{k\geqslant 1}a_k 3^{-k} \) donde \( a_k\in\{0,1,2\} \) entonces \( x \) pertenece al conjunto de Cantor si y solo si todos los \( a_k \) son distintos a uno . Con eso puedes demostrar que para todo punto del conjunto de Cantor existe una sucesión, perteneciente al propio conjunto, que converge hacia ese punto.

CORREGIDO: por un momento había pensado que los números con colas de doses como \( 0,2222... \) no pertenecían al conjunto de Cantor, pero sí que pertenecen. Así que las colas de doses están permitidas.

Siguiendo la idea de Masacroso. Dado \( x=\displaystyle\sum_{k\geqslant 1}a_k 3^{-k} \) en el conjunto de cantor, puedes aproximarlo por:

- Sucesión dentro del conjunto de Cantor:

\( x_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}a_k 3^{-k}+2*3^{-n} \)

- Sucesión fuera del conjunto de Cantor:

\( x_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}a_k 3^{-k}+1*3^{-n} \)

Saludos.