Hola
Justificar que la función \( f(x,y)=x^2+y^2-2y \) alcanza un valor máximo y un valor mínimo cuando \( x^2+2y^2=2 \) y calcularlos.
El conjunto:
\( A=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|x^2+2y^2=2\} \)
es cerrado y acotado; por tanto es compacto y como la función \( f(x,y) \) es continua (por ser polinómica) alcanza el máximo y mínimo en un compacto.
Spoiler
Pare ver que es cerrado puedes usar que:
\( A=g^{-1}(0) \) con \( g(x,y)=x^2+2y^2-2 \) continua.
Para ver que es acotado nota que \( d((x,y),(0,0))^2=x^2+y^2\leq x^2+2y^2 \).
Para hallar los máximos y mínimos puedes usar multipicadores de Lagrange. Plantea:
\( F(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda(x^2+2y^2-2) \)
Los candidatos a máximos y mínimo se localizan en los puntos críticos, que son los puntos de anulación simultánea de las derivadas parciales de la función \( F \).
Saludos.
