Hola
en primer lugar debemos demostrar que \( J_{n+1}\subset{J_n} \). Ahora si \( x=\left\{{x_1,...,x_p}\right\}\in{J_{n+1}} \) entonces existe un \( x_k\geq{n+1} \), para un \( k=1,...,x_p \) y de aquí podemos ver que \( x_k\geq{n} \). por lo anterior tenemos \( J_{n+1}\subset{J_n} \)
Es que no está bien. Que:
\( x=(x_1,...,x_p)\in{J_{n+1}}=[n+1,\infty)\times [n+1,\infty)\times \ldots\times [n+1,\infty) \)
significa que cada \( x_i\in [n+1,\infty) \) para \( i=1,2,\ldots,p \).
Y esto a su vez que:
\( x_i\geq n+1\geq n\quad \Rightarrow{}\quad x_i\in [n,\infty) \) para \( i=1,2,\ldots,p \).
Por tanto:
\( x=(x_1,...,x_p)\in [n,\infty)\times [n,\infty)\times \ldots\times [n,\infty)={J_{n}} \)
Ahora supongamos que \( y\in{\cap{I_n}} \), con \( y=(y,..,y_p) \) entonces tenemos que \( y_i\in{[n,\infty]} \) para toda \( n\in{\mathbb{N}} \). Tenemos que... Lo demás que realice en la demostración no funciono, y la verdad no sé si esta bien desarrollada hasta este paso, y tampoco sé como proseguir con ella, espero me puedan ayudar con esto
Supón que \( x=(x_1,...,x_p)\in \displaystyle\bigcap J_n \). Sea \( n_0 \) un natural cumpliendo \( n_0>x_1 \). Entonces \( x_1\not\in [n_0,+\infty) \) y por tanto \( x\not\in J_n \): contradicción.
Saludos.
