[pierozeta]

Buenas tardes por favor, pueden darme una idea de como hacer este ejercicio?
Calcule la cohomología de DeRham de los siguientes abiertos, y mirando al producto, concluya que no son difeomorfos.

a) \( U=\mathbb{R}^3\setminus (L_1\cup C) \),  \( L_1=\{x=y=0\} \) y \( C=\{x^2+y^2=1,z=0\} \)

b) \( V=\mathbb{R}^3\setminus (L_2\cup C) \),  \( L_2=\{x=3,y=0\} \) y \( =\{x^2+y^2=1,z=0\}.
 \)


Estoy pensando en hacer \( U_1=U \), \( V_1=L_1\cup C \), así

\( U_1\cup V_1=\mathbb{R}^3 \), \( U_1\cap V_1=\emptyset\ldots \).
Como \( L_1 \) e \( C \) son disjuntos, entonces \( H^k(V_1)=H^k(L_1)\oplus{H^k(C)} \), entonces aplicando la sucesión de MV

\( \ldots\rightarrow{H^k(\mathbb{R^3})}\rightarrow{H^k(U_1)\oplus{H^k(V_1)}}\rightarrow{0} \)

Antes de continuar así, quisiera saber si mi idea está buena. Hasta ahora no he usado que las posiciones de la recta y circunferencia son diferentes, no sé qué hacer ahí.

Vi bien y no puedo usar MV, pues \( V_1 \) no es abierto  . Alguna idea?

Muchas gracias.

[geómetracat]

Creo que tu idea estaba bien. Aunque es verdad que tal como lo tomas \( V \) no es abierto, siempre puedes usar el truco típico que es tomar un entorno tubular. Es decir, en vez de tomar \( V = L \cup C \), tomas \( V = L \times D \cup C \times D \), donde \( D \) es un pequeño disco abierto. Ahora \( V \) es la unión de dos toros sólidos (y por tanto homotópicamente equivalente a dos puntos), y \( U \cap V \) es homotópicamente equivalente a dos toros.

[manooooh]

Hola

(...) \( V = L \times D \cup C \times D \) (...)

¿Esto se interpreta así: \( V=(L \times D) \cup (C \times D) \)?

Gracias y saludos

[Luis Fuentes]

Hola

(...) \( V = L \times D \cup C \times D \) (...)

¿Esto se interpreta así: \( V=(L \times D) \cup (C \times D) \)?

Si.

Saludos.

[pierozeta]

Gracias por sus respuestas, para el item (a) conseguí pues \( U=S^1\times S^1 \), para el item 2 aún no pues para usar la sucesión de Mayer Vietoris tengo que saber el grupo de cohomologia de \( \mathbb{R}^3\setminus S^1 \), cómo puedo hallarlo?

Otra cosa, conversando con mi profesor, sobre la parte de mirando al producto él se refirió a el producto wedge, ver que en uno el mapa de deRham es degenerado y en el otro es no degenerado, eso tampoco entendí. Alguna idea?

Muchas gracias!