Autor Tema: Nociones elementales en planos de Minkowski

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22 Octubre, 2019, 06:25 pm
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GMat

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Saludos a todos. Colocó  esto aqui ya que no se en que subsección iría mejor.

Mi duda es sobre la interpretación  geométrica  de las cantidades \( x+y, x-y, x.y \) en un plano de Minkowski. No se si representa lo mismo si en geometría  analítica o si tiene alguna interpretación diferente.

Es claro que me falta la base de estos temas, es algo que me dió curiosidad. ¿Me podrían  recomendar libros introductorios al tema? Que hablen sobre planos de Minkowski.

Gracias de antemano  por la ayuda.

23 Octubre, 2019, 10:51 am
Respuesta #1

geómetracat

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No me queda del todo clara tu pregunta. No sé si por plano de Minkowski te refieres a \( \Bbb R^2 \) con la métrica pseudoriemanniana \( -dx^2+dy^2 \), o a las geometrías combinatorias, como aquí:
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Minkowski_plane.

En cualquier caso lo segundo es una axiomatización y generalización de lo primero, así que vale la pena entender el plano de Minkowski como variedad pseudoriemanniana.

Aquí la intuición básica viene de física, más concretamente de la teoría de la relatividad. Por eso es más habitual usar coordenadas \( (t,x) \) en vez de \( (x,y) \), y la métrica queda \( -dt^2+dx^2 \).
A diferencia del caso riemanniano, donde todos los vectores no nulos tienen norma positiva, aquí un vector no nulo puede tener norma positiva (se dice que es tipo espacio), cero (tipo luz) o negativa (tipo tiempo).
Esto hace que la geometría cambie bastante. La interpretación física es la siguiente: dos puntos \( P=(t,x),Q=(t',x') \) del plano están unidos por un vector tipo luz si un rayo de luz emitido en el punto \( P \) (es decir, emitido en la posición \( x \) en el tiempo \( t \)) llega al punto \( Q \) (es decir, en tiempo \( t' \) está en la posición \( x' \)). Aquí asumimos que la velocidad de la luz es \( c=1 \).

Fijado un punto, pongamos el origen por simplicidad, esto nos define el llamado cono de luz, que es el conjunto de todos los puntos del plano unidos con el origen por vectores tipo luz. Si haces el cálculo sencillo con la métrica verás que son los puntos formados por las rectas \( t+y \) y \( t-y \). Una vez tienes esto, puedes comprobar que los puntos unidos con el origen por un vector tipo tiempo son los que quedan dentro del cono de luz (su interpretación física es que son los puntos unidos causalmente con el origen, es decir, algo que pase en el origen puede influenciar lo que pase en esos puntos), mientras que los que quedan fuera son los unidos con el origen por vectores tipo espacio (físicamente, son los puntos que no pueden quedar afectados por nada que pase en el origen).

Fíjate que esta estructura causal hace que el plano de Minkowski sea muy distinto al euclídeo. Por ejemplo, dadas dos rectas cualesquiera del plano euclídeo hay una isometría que lleva una a la otra. Sin embargo, esto es falso en el plano de Minkowski: toda isometría debe enviar vectores tipo luz (resp. tiempo, espacio) a vectores del mismo tipo, lo cual implica que no hay isometrías que envíen la recta \( t+x=0 \) a la recta \( t=0 \), por ejemplo.

No sé si esto te ha aclarado algo o tiene que ver con lo que preguntabas. Cualquier duda pregunta de nuevo.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)