Hola
Tengo dificultades para hacer este ejercicio, no sé a qué teorema apelar. Se que ambos son conexos y producto de conexo es conexo. Pero no tengo condiciones para decir que sea arcoconexo por el teorema que conozco pues no cumple la hipótesis de que sea abierto. Supongo que debo construir un camino y apelar a la definición pero no se me ocurre alguno. De antemano gracias. Este es el problema:
Demuestre que el conjunto \( S^{1} \times [0.1] \) es un conjunto arcoconexo, donde \( S^{1}= \{ (x,y): x^{2}+y^{2}=1 \} \).
Utiliza que el producto de conexo por caminos es conexo por caminos. Para ello ten en cuenta que si tienes \( (x_1,y_1) \) e \( (x_2,y_2) \) en \( X\times Y \), y \( X \) e \( Y \) son arcoconexos tienes caminos:
\( \alpha:[0,1]\to X,\qquad \alpha(0)=x_1,\quad \alpha(1)=x_2 \)
\( \beta:[0,1]\to Y,\qquad \beta(0)=y_1,\quad \beta(1)=y_2 \)
que te permiten construir:
\( \gamma_1:[0,1]\to X\times Y,\quad \gamma(t)=(\alpha(t),y_1) \) que une \( (x_1,y_1) \) con \( (x_2,y_1) \).
\( \gamma_2:[0,1]\to X\times Y,\quad \gamma(t)=(x_2,\beta(t)) \) que une \( (x_2,y_1) \) con \( (x_2,y_2) \).
Saludos.
