[nicoepg]

Hola, me gustaría recibir algo de ayuda con este ejercicio, no sé por donde entrarle. Gracias de antemano

Sea \( f: \mathbb{R^{n}} \rightarrow \mathbb{R}  \)continua. Suponga además que \( f(x)>0 \) para todo \( x\neq{0} \) y que \( f(cx)=cf(x) \) para cada \( x \) y \( c>0 \). Demuestre que existen constantes \( a>0 \) y \( b>0 \) tal que \( a\parallel x \parallel \leq{f(x)} \leq{b\parallel x \parallel } \).

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, me gustaría recibir algo de ayuda con este ejercicio, no sé por donde entrarle. Gracias de antemano

Sea \( f: \mathbb{R^{n}} \rightarrow \mathbb{R}  \)continua. Suponga además que \( f(x)>0 \) para todo \( x\neq{0} \) y que \( f(cx)=cf(x) \) para cada \( x \) y \( c>0 \). Demuestre que existen constantes \( a>0 \) y \( b>0 \) tal que \( a\parallel x \parallel \leq{f(x)} \leq{b\parallel x \parallel } \).

Si consideras la restricción de la aplicación a la esfera cerrada unidad \( \{x\in \Bbb R^n|\|x\|=1\} \), por ser compacta la función alcanza en ella el máximo y el mínimo. Es decir existen \( m=f(x_0)>0,\,M=f(x_1)>0 \) tales que:

\( m\leq f(x)\leq M \) para todo \( x \) con \( \|x\|=1 \)

Pero entonces para cualquier \( x\neq 0 \):

\( f(x)=f(\|x\|\dfrac{x}{\|x\|})=\|x\|f(x') \) con \( \|x'\|=\left\|\dfrac{x}{\|x\|}\right\|=1 \)

y

\( m\|x\|\leq f(x)\leq M\|x\| \)

Saludos.

[nicoepg]

Muchas gracias por la respuesta Luis, genial. El ejercicio es muy bonito pues permite demostrar que todas las normas de \( \mathbb{R^{n}} \) son equivalentes.